3.14國際數學日陶哲軒主題演講全文《如何像數學家一樣思考》——UCLA加州大學洛杉磯分校柯蒂斯中心

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今年3.14國際數學日，加州大學洛杉磯分校柯蒂斯中心組織數學科普講座，數學系教授陶哲軒（Terence Tao）帶來主題演講《如何像數學家一樣思考》。陶教授還在現場解答了一系列問題，話題包羅萬象，從童年時期的電子游戲經歷，到人工智能日益普及的當下該如何開展數學研究，均有涉及。

作者：陶哲軒（Terence Tao）2026-3-14

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-4-8

主持人

我們需要思考的一個問題是，如何讓學生真正深入思考這些數學概念。接下來，我們會請一位嘉賓為大家帶來一些啟發思考的內容。想必大家都知道今天是圓周率日，那么就權當是 “派” 發靈感吧（雙關語，英文中 “food for thought” 意為啟發思考的事物，派“pie” 與圓周率π “pi” 同音）。之后，柯蒂斯中心主任希瑟?達拉斯（Heather Dallas）會上臺，帶領我們展開討論。所以，希望大家認真聆聽接下來的分享，之后我們能有機會一起探討、交流想法。

話雖如此，現在我很榮幸為大家介紹今天的主講人 —— 陶哲軒（Terry Tao）教授。他是數學系教授，同時擔任文學與科學學院詹姆斯和卡羅爾?柯林斯講席教授（James and Carol Collins chair）。

接下來，我為大家分享關于陶哲軒教授的3.14個趣味事實。

趣味事實一：他是迄今為止IMO國際數學奧林匹克競賽最年輕的參賽者，首次參賽時年僅10歲。

趣味事實二：24歲時，他晉升為加州大學洛杉磯分校（UCLA）正教授，至今仍是該校史上最年輕的正教授。

趣味事實三：陶教授已出版16部著作，而他的新作《六大數學核心要義》Six Math Essentials 即將問世，這也是他的第一部大眾數學科普讀物。

至于這0.14個趣味事實嘛 —— 今天他要為我們帶來的演講主題是：《像數學家一樣思考，意味著什么？》。

現在，讓我們用熱烈的掌聲歡迎他！

【掌聲】

陶哲軒

非常感謝主持人的精彩介紹，我很高興能來到這里。嚴格來說，我曾是菲爾?柯蒂斯（Phil Curtis）的同事。我在1996年來到這里，差不多是他退休的時間，具體日期我記不太清了。恐怕我和他的實際交流并不多，但他在我們系絕對是一個傳奇人物。

今天，我想從數學家的視角，為這場活動分享一些見解。在我看來，學會像數學家一樣思考至關重要，我本人也樂在其中。這種思維方式十分寶貴，我希望更多學生都能掌握，可惜的是，很多人并沒有機會接觸到。而且我覺得，大多數人甚至都不清楚數學家到底是做什么的。

比如律師、醫生或工程師，大家對他們的工作內容都有大致的了解，但提到數學家，人們腦海里的印象往往有些偏差。幾乎每個數學家都有過這樣的經歷：在派對上，別人問起你的職業，你回答 “我是數學家”，得到的回應通常都是 “天啊，我上學時數學特別差”。當然，偶爾也會遇到特別熱情的回應，但剛才那種才是最普遍的。

有些人覺得數學家就像巫師，能駕馭那些晦澀的符號咒語，仿佛擁有某種魔力；還有些人認為，數學就是一門極其復雜的技術活，一道題只有一個正確答案，卻有無數種錯誤解法，只要出一點差錯，整個解題過程就會全盤崩潰，而數學家們每天都在和各種復雜的方程式打交道。

還有些人對數學家的印象來自好萊塢電影 —— 覺得我們眼前隨時都浮現著各種公式。當然，或許確實有人是這樣，但我肯定不是。我們腦海里的那些刻板印象，其實都不是數學領域的常態。

我認為，大多數數學家都是很普通的人。不過在某些方面，這種誤解也挺無奈的。一方面，被貼上“天才”之類的標簽，聽起來確實有點酷，但另一方面，這也給學生們帶來了不少困擾。

當學生們讀到數學家攻克重大難題的傳奇故事，再看看自己眼前的數學題，發現自己無法一蹴而就解出來；或者在學習某個難懂的知識點時，怎么也搞不懂，最后就會在數學變得有趣之前選擇放棄。畢竟，如果一直被灌輸“數學家都是天才”的觀念，而學生自己并不覺得自己是天才，那他們自然就會覺得自己成不了數學家。

所以今天，我想和大家分享一下，作為一名數學家究竟是什么感覺。這是每個數學家都心知肚明的事，但我們卻沒有經常把它傳達出去。我覺得，我們應該多做一些科普推廣工作，而不是總待在象牙塔里。

在我看來，像數學家一樣思考，其實分為幾個不同的階段。這也是數學思維之所以難以內化的原因之一 —— 它是一個逐步發展、相對復雜的過程。我喜歡把數學學習分為三個階段：

前嚴謹階段、嚴謹階段和后嚴謹階段。

前嚴謹階段大致對應從幼兒園到高中（K12）乃至大學低年級（K14）的教育階段。在這個階段，學生主要學習例題、培養直覺、記憶公式、練習計算。但這個階段很容易出錯，學生其實并不真正理解背后的原理，只是對所有知識有一個模糊的認知。

之后進入大學，如果是數學專業的學生，就會接觸到令人 “頭疼” 的證明課程，開始學習如何進行嚴謹的思考。在這個嚴謹階段，解題似乎只有一種正確方法，卻有無數種錯誤方法，之前在前置階段學到的很多知識都會被輕視，被認為是 “小孩子學的東西”，仿佛只有現在學的才是 “真正的數學”。

然而，大多數人都沒能達到第三個階段 ——后嚴謹階段，因此也沒能體會到這個階段的妙處。所謂后嚴謹階段，就是當你已經熟練掌握嚴謹、精確的思維方式之后，再回過頭去重新審視自己的直覺，能夠更流暢、更不拘泥于形式地思考問題。而且你心里清楚，就算自己此刻是在 “憑感覺” 分析，只要需要，隨時都能把這些思路轉化為嚴謹的論證過程，做到直覺與嚴謹的自由切換。這個階段，基本上就是研究生階段的學習內容了，也是數學學習中最有趣的階段。可惜的是，大多數人都沒能體驗到這一點。

接下來，我舉個例子，幫大家更好地理解這三個階段。數學中有一個基礎概念叫“反證法”，學生們通常覺得這個概念既不直觀又很難理解，但實際上，小學生們在課間休息時，就會自己“發明”這種思維方式。

我小時候，就和小伙伴們玩過一個很傻的游戲：圍在一起比誰說出的數字最大。有人說 “十億”，接著就有人說 “萬億”“千萬億”，就這樣你一言我一語，不斷地往大了說，比如 “萬億的萬億倍” 之類的。這個游戲會一直玩下去，直到有人意識到：不管對方說出多大的數字，下一個人只要在這個數字上加 1，就能得到一個更大的數。

這時大家就會恍然大悟：根本不存在最大的數。因為無論你想到多大的數，只要加1，就能得到一個更大的數。其實，這就是反證法的應用。他們證明了 “最大的數不存在”—— 因為如果存在這樣一個數，那它就會比自己加1之后的數還大，這顯然是不可能的。

孩子們自己發現了這種思維方式，但他們無法用語言清晰地表達出來。這個過程其實已經相當嚴謹了，只是他們還沒有掌握對應的專業術語。

之后，學生們升入高中、大學，會在課堂上正式學習各種證明方法。證明的形式多種多樣，比如直接證明：給出一個應用題和已知條件，通過一系列數學變換，從條件推導到結論，也就是從 A 推導出 B。我相信大家都做過這類題目，這里就不展開細說了。

還有一種是逆向直接證明：從想要證明的結論出發，對其進行化簡、變形、消去項，一步步倒推，最終回歸到已知的條件。這是嚴謹階段非常典型的數學思維方式，解題過程中容不得半點差錯。

而當學生們正式學習反證法時，往往會覺得這種方法非常奇怪。比如要證明 “根號2是無理數”（即根號2不能表示為兩個整數的比值），步驟通常是：先假設根號2是有理數，然后進行一系列推導，最后得出一個與之前的假設或已知定理相矛盾的結論，從而證明原假設不成立，根號2確實是無理數。

很多學生很難把這種嚴謹的證明方法，和他們小時候玩游戲時用到的反證思維聯系起來。明明是同一個概念，卻因為教學方式的不同，給人一種完全割裂的感覺。

但對于后嚴謹階段的數學家來說，反證法就是一種信手拈來的工具，根本算不上什么高明的技巧。當我們懷疑某個命題是否成立時，會很自然地先假設它是對的，然后看看會得出什么結果。如果推導過程中出現了矛盾，那就說明這個命題不成立，僅此而已。對我們來說，這就像是游戲里的一個常規操作。

數學家哈代（G. H. Hardy）曾說過一句很貼切的話：

“歸謬法（反證法，拉丁語名稱reductio ad absurdum）是數學家手中最精妙的武器之一，它比國際象棋中的任何棄子策略都要高明得多。在國際象棋中，棋手可能會犧牲一個象或一個車，來換取棋局上的優勢；而數學家卻可以‘犧牲整個棋局’，最終依然能贏得勝利。”

你看，這就是對同一個概念的三種不同思考層次。這也是“像數學家一樣思考”的其中一個要點。

另一個要點，其實之前的幾位嘉賓也提到過：

在數學領域，失敗是被允許的。

但這一點，和我們平時的教學方式恰恰相反 —— 尤其是在嚴謹階段的教學中，學生只要算錯一個符號，作業本上就會被打上紅叉，分數也會被扣除。

但實際上，和其他學科相比，數學領域的 “失敗成本” 其實非常低。比如，工程師設計橋梁時出錯，代價會非常高昂；心臟外科醫生做手術時失誤，后果更是不堪設想。但如果是解一道數學題，就算你的證明過程行不通，這也只是一個無關緊要的小失誤，大不了重新再來。

弗拉基米爾?阿諾德（Vladimir Arnold）曾說過一句話：“數學可以看作是物理學的一個分支 —— 一個實驗成本極低的分支。” 至于當下的人工智能技術，我們暫且不談。

也正因為如此，研究生階段的一個重要學習內容，就是不斷嘗試、不斷犯錯，哪怕明知有些方法可能行不通，也要去試一試。因為失敗的過程往往能帶來寶貴的啟發。這種思維模式，是我們作為數學家會內化于心的，但幾乎沒有其他領域的人能夠理解 —— 畢竟在絕大多數行業里，人們都害怕犯錯，而在數學領域，我們擁有犯錯的自由，這是一種非常珍貴的特權。

不過，這里存在一個脫節：我們評判數學題答案的標準是 “是否正確”，但評判數學學習過程的標準，卻應該包容大量的失敗 —— 而這一點至關重要。

我給大家講一個真實的例子。

幾個月前，有個學生來找我請教一道數學題。具體題目我就不說了，只記得題目提示可以用 “泰勒近似” 這個方法來解。這個學生其實已經學過三次泰勒近似了 —— 他有三本不同的教材，里面給出了三種不同的泰勒近似公式，他不知道該用哪一個，所以陷入了僵局，整個人都不知所措。這種情況，有時被稱為 “分析癱瘓”—— 因為選擇太多，反而無從下手。

我當時只跟他說了一句話：沒關系，就算你選的第一個公式行不通也無所謂，先隨便選一個試試看。也許能解出來，也許解不出來，就算只能解出一部分也沒關系，至少能讓你知道下一步該怎么做。

就這么簡單的一句話，就讓他豁然開朗了。我并沒有給他更多提示，只是賦予了他 “允許自己失敗” 的權利。后來他沒有再找我，我想他應該已經解決那道題了。

這是一個非常基礎的道理，但我們卻很少在教學中提及 —— 因為我們同時也強調答案的正確性，所以必須在 “嚴謹求對” 和 “包容試錯” 之間找到平衡。

其實科學家們也都明白這個道理。尼爾斯·波爾（Niels Bohr）有一句名言說得好：

“什么是專家？專家就是在一個非常狹窄的領域里，犯過所有能犯的錯誤的人。”

如果你過去沒有犯過某些錯誤，那將來遲早會犯。所以，現在犯錯其實是件好事 —— 把錯誤都留在過去，將來就不會再犯同樣的尷尬錯誤了。

試錯，確實是我們做研究過程中極其重要的一環。可惜的是，我們很少把這一點公之于眾。在某些方面，我們的學術文化并不完善。比如發表論文時，我們通常只會展示成功的研究成果，很少會寫那些走不通的彎路，以及研究過程中那種迷茫無助的狀態 —— 而這種迷茫，其實才是數學家的常態。

當然，也有少數人會在論文中提及這些，但大多數時候，我們只分享成功的喜悅。比如，當你讀到著名數學家瑪麗亞姆?米爾扎哈尼（Mariam Makani）的論文時，會發現里面全是成功的研究成果（她其實比大多數數學家都坦誠）。可當你自己做研究時，卻會不斷遇到證明失敗的情況，這時就很容易產生 “冒充者綜合征”（即冒名頂替綜合征），覺得自己根本不配當數學家。

所以我認為，我們應該更坦然地公開自己的失敗經歷，讓這種情況變得常態化。

再給大家講一個我的親身經歷。幾年前，我和另外四個人合作研究一個偏微分方程的問題。這個問題有一位非常著名的數學家讓?布爾甘（Jean Bourgain）曾鉆研過很久，但只得到了部分結果，而我們想要攻克完整的問題。當時我們信心滿滿，覺得幾個月就能搞定。

我們嘗試了一種很大膽的方法，結果竟然成功了！當時我們高興壞了，甚至已經開始預訂餐廳，準備開香檳慶祝。可就在我們開始撰寫證明過程時，我的一位合作者 —— 他比我們其他人都要細心 —— 發現了一個問題：我們在推導過程中把一個式子展開成了13項，其中12項都處理得很完美，但唯獨漏掉了第13項。

我當時還覺得這只是個小問題，想著 “沒關系，我把這一項補上就行”。可仔細一算才發現，我們根本無法控制這第13項 —— 它恰恰是所有項中最關鍵、最難處理的一項，而我們之前竟然把它忽略了。本以為只是個小疏漏，結果無論我們怎么嘗試，都無法解決這個問題，整個證明過程就此卡住。

那時候，我們已經在這個問題上投入了整整六個月的時間，最后不得不取消了餐廳預訂，心情別提多沮喪了。但我們沒有放棄，而是繼續鉆研。就這樣過了整整兩年，我們終于找到了一種完全不同的方法，徹底解決了這個問題。

這篇論文后來還獲了獎，也是我最引以為傲的成果之一。現在想來，如果當初那次 “初步成功” 沒有出現那個失誤，我們恐怕早就放棄了，根本不可能解決這個問題。所以有時候，犯錯甚至能帶來意想不到的積極效果。這篇論文發表在一本叫《數學年刊》Annals of mathematics 的期刊上 https://arxiv.org/abs/math/0402129 ，我和我的四位合作者都對此非常滿意。

所以說，擁有犯錯的自由至關重要。由此還能引申出另一個觀點：

要想在數學領域取得進步，就要敢于提出“愚蠢的問題”。

在教學過程中，我們往往會不自覺地給學生灌輸一種觀念：除非對自己的答案非常有把握，否則不要隨便發言。但這種做法其實是完全錯誤的。

學生在解數學題時，經常會提出一些看似“愚蠢”的問題。從標準答案的角度來看，這些問題確實顯得很幼稚，但實際上，這些問題恰恰是最值得去解答的。

我這里列舉了一些學生可能會問的“傻問題”，但其實，數學領域的許多重大突破，都源于數學家在更高層面上提出了類似的“愚蠢問題”。每個問題展開來講都能聊上一個小時，今天就不細說了。但幾乎每一個數學新突破，追根溯源，都能歸結到某個人提出的一個看似愚蠢的問題上。

保羅?哈爾莫斯（Paul Halmos）是一位非常著名的數學家，他尤其擅長教導學生如何像數學家一樣思考。他一直強調：不要把老師教給你的知識當作一成不變的定論，你必須去質疑它、挑戰它，真正把它變成自己的東西。而做到這一點的一個重要方法，就是大膽提出自己的 “傻問題”。

再給大家講一個我自己的例子。我的博士生導師埃利亞斯?斯坦因（Elias Stein）是普林斯頓大學一位成就斐然的數學家。他曾證明過一個不等式，但唯獨在一個端點的情況上沒有解決。當時我就下定決心，要攻克斯坦因不等式的這個端點問題。

我先是獨自鉆研，后來又和一些合作者一起嘗試，只得到了一些很薄弱的階段性結果。但攻克這個難題，一直是我的一個夢想 —— 畢竟這是我導師未能完成的研究。

后來，我受邀參加斯坦因教授的80歲生日學術會議，需要在會上做一個報告。我當時正好在研究這個端點問題，雖然只得到了一些初步結果，但還是決定把這些內容分享出來。

在報告的問答環節，臺下一位同事問了我一個問題：“你有沒有嘗試過證明這個結論是錯的？有沒有什么理由讓你覺得這個結論一定成立？會不會存在反例？”

這個問題我之前從來沒有想過 —— 我一直想當然地認為，我要證明的結論肯定是正確的，完全沒考慮過它可能是錯的。所以當時我根本無法回答這個問題。

會議結束后，我整個晚上都在思考：這個結論會不會真的不成立？沒想到，僅僅過了一個星期，我就找到了一個反例。

你看，有時候不一定非要自己提出這些 “傻問題”，但總需要有人去提。

總結一下，像數學家一樣思考，主要包含三個方面：

第一，既要學習直覺思維，也要掌握嚴謹思維，最終將兩者融合，形成后嚴謹階段的思維模式；

第二，要坦然接受失敗，擁抱試錯的自由；

第三，要敢于提出看似愚蠢的問題。

非常感謝大家的聆聽！

【掌聲】

Q&A主持人：

剛才陶哲軒分享的這些觀點，其實和當前數學教育領域的主流理念不謀而合。事實上，在過去十年里，數學教育界一直在不斷努力：致力于引導學生更嚴謹地構建和論證數學思想；在課堂上公開接納、支持學生在解題過程中遇到的困難、失敗與堅持；同時重視解題過程，鼓勵學生對比多種解題方法，并從中學習。

我們知道，教育領域一直在努力，希望能在學生和課堂中培養出專業數學家所具備的思維習慣。所以，陶哲軒，我想先拋磚引玉，問你一個問題。

提問：

當前數學教育領域還有兩個備受關注的話題：一個是學生之間的協作學習在理解數學知識過程中所扮演的角色；另一個是技術手段在課堂教學中的應用。

你能否結合數學家的專業工作，和我們分享一下你對協作的重要性，以及技術使用的看法？

陶哲軒：

這兩個話題都非常好。我剛才提到的三個要點，并不是成為數學家需要掌握的全部技能。

隨著時代的發展，有一項軟技能在數學領域變得越來越重要，那就是協作能力。數學研究已經從過去那種高度個人化的活動，逐漸轉變為一項非常依賴協作的工作。

一方面，是因為數學學科本身的性質發生了變化 —— 我們現在面對的都是跨學科的復雜問題，單憑一個人的力量根本無法解決；

另一方面，互聯網等新技術的出現，也讓我們能夠開展前所未有的大規模協作。

所以，培養學生參與小組項目的協作能力，是一項非常重要的技能。這是一種和傳統數學學習截然不同的能力。說實話，人際交往能力從來都不是數學家的強項，但現在，我們也在慢慢適應這種變化。

而且未來，我們不僅要和人類協作，還會越來越多地和人工智能（AI）協作。目前，人工智能工具在某些方面已經變得非常強大，但在另一些方面仍然很薄弱。協作的美妙之處在于分工合作：過去，一個數學家需要包攬解題過程中的所有環節 —— 從發現問題、確定策略，到執行策略、撰寫證明、解釋成果。

而現在，我們可以和其他人類研究者，以及人工智能工具協作，不同的合作者負責不同的任務。可以說，數學領域正在經歷一場“產業革命”。我們的教學方式也必須隨之調整 —— 這種變化來得很快，無論好壞，我們都要去適應。不過我相信，只要有像今天這樣的交流平臺，我們一定能夠做好轉型。

Q&A主持人：

非常感謝你的分享。我注意到，線上會議室里有位觀眾提出了一個問題。

提問：

剛才有幾位嘉賓提到了數學在現實世界中的應用，我突然想到，有一個絕佳的應用場景：如果能從加州大學洛杉磯分校據說高達50億美元的捐贈基金中拿出一部分，再結合數學系頂尖的智力資源 —— 我不確定你們是否愿意和金融系合作 —— 要知道，這筆基金的平均年化回報率還不到8%。

我敢肯定，憑借你們的能力，再加上人工智能、數值模擬等技術手段，你們絕對能輕松超越這個平均回報率，為學校賺得盆滿缽滿。

【笑聲】

陶哲軒：

剛才我在演講中提到，在數學領域，失敗的成本很低。但這里需要加一個補充說明：一旦數學研究和現實世界掛鉤，就必須進行嚴謹的風險收益分析。

其實，我覺得讓學生做金融建模的項目會是一個很好的教學實踐 —— 比如模擬一些市場場景，看看效果如何。不過，目前還不太適合直接讓學生去管理加州大學洛杉磯分校的捐贈基金。

【笑聲】

Q&A主持人：

現場還有一位觀眾想提問。

提問：

你愿意幫我管理投資組合嗎？

【笑聲】

陶哲軒：

這個問題，我還是參考剛才的回答吧。

【笑聲】

提問：

我有一個嚴肅的問題想請教：現在的大語言模型在處理高深的理論數學問題時，能力到底有多強？它們是否有能力推動數學領域的邊界？

陶哲軒：

大語言模型在很多方面的能力都在不斷提升。目前來看，它們的水平大概相當于一支由不同水平研究生組成的團隊：你給它們一個問題，它們會從文獻中檢索各種方法，然后逐一嘗試。有時候會取得驚人的成功，有時候則會一敗涂地。

如果你只看社交媒體上那些大肆宣傳的成功案例，會覺得這些模型簡直不可思議。但當你自己下載這些工具，用它們解決你感興趣的問題時，就會發現成功率其實很低，通常只有1%到2%。

我認為，這些工具在某些類型的數學研究中會非常有用。比如，如果一個問題可以拆分成100個子問題，而你并不介意某個工具只能解決其中10%的子問題 —— 那這就相當于幫你解決了10個問題；再換一個工具，又能解決5%，積少成多。

正如我之前所說，數學研究必須走向“產業化”，學會用概率的思維來做研究。過去，我們習慣盯著一個問題死磕到底；而未來，我們可以開展大規模的研究項目，接受 “部分成功” 的模式。這樣一來，這些人工智能工具就能發揮巨大的作用。

不過，目前這個領域的發展變化非常快，既令人興奮，也讓人有些擔憂。但總體而言，我認為利大于弊。

提問：

我很好奇一件事：剛才主持人介紹你的時候，提到了你為人父母之后，看到自己孩子在學校的學習經歷。這讓我立刻想到，你10歲就參加數學競賽，堪稱神童、小名人，是學校里公認的最聰明的孩子 —— 這種經歷肯定不容易吧。

而如今，你作為一名成年人、一位家長，站在這里告訴我們“沒有愚蠢的問題”。說實話，我現在依然覺得自己會提出一些很傻的問題，而且非常害怕在公開場合提問。不過我現在還是鼓起勇氣問了 —— 或許這個問題本身就很傻。

我真正想說的是，以你如今的閱歷，再結合你提到的人工智能、大語言模型的發展，以及數學和教育的未來走向 —— 你覺得現行的教育體系存在諸多不合理之處，那么對于學校、教師和學區管理者，你有什么建議？我們該如何讓數學融入孩子們的世界，讓他們愿意努力鉆研、敢于提出那些 “愚蠢的問題”？

我能想象，對你來說，數學學習或許相對輕松，但與此同時，你也一定經歷過不少艱辛。不知道我這么問是否恰當？

陶哲軒：

你說得很對。我成長的那個年代，節奏要慢得多，也更具可預測性。我的學業進度其實非常快，總共跳了五級。當時，我所在的小學、高中以及當地大學的校長們，不得不專門為我設計一套個性化的課程。

那時候，天才教育項目還不像現在這么系統化，一切都在摸索中進行，而這套 “量身定制” 的方案最終也奏效了。當然，這離不開我父母和各位學校管理者的巨大付出。

現在的情況，相比過去可以說是有好有壞。比如在我的祖國澳大利亞，現在已經有了結構完善的天才教育項目，學生們不用再像我當年那樣，一切從零開始摸索。但與此同時，這些項目也變得更加僵化 —— 有些我當年能做到的事，現在的孩子可能就沒機會嘗試了。

時代已經完全不同了。說實話，我也不確定哪種模式更有效，但幸運的是，我們有這樣一個很棒的中心，致力于研究這些問題。我認為，我們需要不斷嘗試各種教育實驗，既要展示成功的經驗，也要從失敗中吸取教訓。

而且，作為數學家，我們都明白一個道理：一個不完美的解決方案，也好過沒有解決方案。 我覺得，這正是我們這個中心存在的意義。

Q&A主持人：

謝謝你的分享，陶哲軒。你剛才說的這些話，讓我想起了九個月前我曾說過的一句話：我們不必害怕失敗，但要害怕從失敗中一無所獲。

接下來，有請加州州立大學北嶺分校的凱特?史蒂文森（Kate Stevenson）教授提問。

凱特提問：

你好！我就在附近的加州州立大學北嶺分校任教。作為數學系主任，我特意選擇教授那門令人 “頭疼” 的證明課程 —— 因為這門課能讓我和數學專業的學生們緊密接觸。我很喜歡看著學生們在這門課上完成思維的轉變。

如果能有一段你的視頻，告訴學生們 “犯錯是沒關系的”，那我的教學工作會輕松很多。

你剛才提到的“像數學家一樣思考”的三個要點非常好，但我覺得，這個框架或許忽略了一類學生 —— 那些沒參加過數學夏令營、高中數學成績并不理想的學生。

陶哲軒：

我教的學生中，很多都是第一代大學生，還有不少學生有著非常坎坷的成長背景和艱難的現實生活。對于這些學生來說，我們首先要和他們建立信任，讓他們愿意去犯錯。因為只有在感到安全的環境里，人們才敢于犯錯—— 這其實是一種特權。

我認為，要建立這種信任，我們可以達成一個共識，用同一個聲音告訴學生：數學的本質是在試錯中堅持，是一張由相互關聯的思想構成的網絡，而不是一堆孤立的算法。

凱特提問：

值得高興的是，最近加州州立大學系統（CSU）、加州大學系統（UC）和社區大學已經聯合發布了一份聲明，明確了大學階段數學學習的預備能力要求 —— 這份聲明所體現的理念，和你今天分享的內容完全一致。所以我覺得，我們應該大力宣傳這份聲明，向所有人傳遞一個信息：在這個問題上，我們的觀點是一致的，沒有任何分歧。

Q&A主持人：

感謝凱特的分享。線上會議室里還有一個問題，是菲爾的一位往屆學生克里斯?安迪思（Chris Andis）提出的 —— 他剛才已經離開了會議室，但我還是想把這個問題轉達給你。

克里斯?安迪思提問：

陶哲軒，你是否見過這樣的情況：人工智能為了證明某個結論或解決某個問題，自主創造出一個全新的數學定義？要知道，提出好的定義，是數學家最具創造性的工作之一。比如拓撲學中的“緊致性”定義，就大大簡化了許多基礎定理的證明過程。人工智能能做到這一點嗎？

陶哲軒：

這個問題的答案可以說是 “能”，也可以說 “不能”。

你可以讓人工智能生成各種各樣的新想法和新定義，但往往是1個有價值的定義，伴隨著99個毫無意義的定義。而且，如果不親自去驗證，你根本無法判斷哪些定義是有用的，哪些是無用的。

數學領域的有些問題是很容易驗證的 —— 比如一道題要么解出來了，要么沒解出來。對于這類可驗證性強的任務，人工智能目前已經表現得相當出色。但對于“定義”這類事物，你無法用10分制去量化它的優劣。

所以，對于這類創造性任務，人工智能目前的表現依然很讓人沮喪。它們偶爾會靈光一現，提出一個絕妙的定義，但緊接著就會拋出九個毫無價值的想法，然后自顧自地繼續生成內容。至少到目前為止，我還沒有見過人工智能提出過真正具有突破性的定義。或許未來技術發展了會實現，但現在還做不到。

提問：

你剛才提到了數學學習的三個階段：前嚴謹階段、嚴謹階段和后嚴謹階段。我想問的是，這個階段劃分是必須遵循的嗎？ 如果不是，有沒有辦法讓那些沒有接受過完整正規數學教育、沒能進入后兩個階段的人，也能體驗到后嚴謹階段的思維方式，或者對其有所了解？

陶哲軒：

這是一個很好的問題。

我見過一些人，他們對數學抱有極大的熱情，腦子里也有很多很棒的想法，但他們完全沒有嚴謹的數學思維訓練 —— 他們試圖跳過嚴謹階段，直接進入后嚴謹階段。這種做法往往會陷入尷尬的境地：他們所說的很多內容其實是沒有邏輯的，但他們自己卻意識不到。

我認為，讓處于不同學習階段的人多交流，是非常重要的。這樣可以讓每個階段的學習者都明白：你現在所處的階段，并不是數學學習的終點。

至于如何讓沒有機會接受高階教育的人體驗到后嚴謹階段的思維方式，我覺得關鍵在于更多地展示數學研究的過程。

你看，在其他領域，人們很喜歡看別人做事的過程 —— 比如電子游戲領域，就有很多人喜歡看別人玩游戲；還有人喜歡看運動員訓練，或者看演員的幕后花絮。但在數學領域，我們卻沒有這樣的文化 —— 我們要么覺得自己的研究過程過于私人，要么覺得它枯燥乏味，不值得分享。

但我想，如果我們能更多地展示數學研究的真實過程，或許就能讓更多人感受到后嚴謹階段的魅力。

提問：

說到這里，我想起了你最近發布的一個視頻 https://www.youtube.com/watch?v=JHEO7cplfk8 —— 那個視頻的點擊量已經達到了十萬次。我想，這或許就是一個很好的嘗試：你在視頻中展示了自己如何主動運用人工智能進行研究，相當于揭開了數學研究的 “神秘面紗”，讓人們看到了真實的研究過程。

確實如此，我們在這方面做得還遠遠不夠。

你剛才提到，失敗是學習過程中很重要的一部分，我們能從錯誤中吸取教訓。這讓我想起了詹姆斯?斯蒂格勒（James Stigler）做過的一項研究 —— 他參與的第三屆國際數學與科學研究項目（TIMSS）。

斯蒂格勒團隊曾拍攝了日本、德國和美國三國八年級的數學課堂。他們發現了一個很有意思的現象：在美國的課堂上，如果一個學生把解題過程寫在黑板上并出現錯誤，大家會覺得這是一件很糟糕的事；但在日本的課堂上，當學生在黑板上寫出錯誤的解法時，老師會特別強調全班同學都應該對此表示感謝 —— 因為大家可以從這個錯誤中學習。

這種教學理念的差異，恰恰和你今天分享的核心觀點不謀而合：我們應該重視從錯誤中學習的價值。

我想問一個非常具有南加州風格的問題：做數學研究時，你是什么感覺？ 當研究進展順利時，你是什么心情？當研究陷入困境 —— 我們姑且不用“失敗”這個詞，用“富有成效的試錯”來形容 —— 時，你又是什么感受？

陶哲軒：

我小時候特別愛玩電腦游戲，那是我最大的愛好之一。1990年代，互聯網還沒有普及，如果玩游戲時卡在某個關卡 —— 比如找不到開門的鑰匙 —— 是沒有攻略可以查的。頂多只能去當地的游戲店買一本攻略書。

所以，那時候我每天晚上玩游戲，都會卡在同一扇門前，反復嘗試，卻毫無進展。但突然有一天，我靈光一閃，低頭看了看腳下的石頭 —— 鑰匙竟然藏在石頭下面！那一刻，我終于通關了，那種成就感真的太強烈了。

這種感覺是靠自己努力換來的：你為一個問題絞盡腦汁，不斷探索，看似毫無進展，但實際上，你正在排除所有行不通的方法，就像在雕刻時剔除多余的石料，直到最后只剩下一條正確的路徑。這時，你就會豁然開朗，找到解決問題的方法。

而且往往在找到答案后，你會恍然大悟：“原來這么簡單，我之前怎么就沒想到呢？” 但你之所以能想到，正是因為你之前付出了大量的努力，排除了所有錯誤的選項。

我不想說 “現在的孩子太幸福了” 之類的話，但不可否認的是，科技確實極大地改善了我們的生活 —— 我們現在可以隨時隨地獲取各種信息，對任何事情都期待能得到即時的解決方案。

但數學研究是少數幾個無法獲得即時答案的領域之一 —— 當然，現在有了人工智能的幫助，情況有所改變。但在沒有人工智能輔助的時候，你必須靠自己一步步去摸索。而當你最終解決問題時，那種靠自己努力換來的成就感，真的是一種非常美妙的體驗。

提問：

你剛才提到，那個偏微分方程的問題，你們在出錯后花了整整兩年才解決。如果現在用人工智能來處理這個問題，你覺得需要多長時間？

陶哲軒：

我還沒有試過，其實我有點不敢嘗試。不過，不管是好是壞，目前人工智能的訓練模式都是：盡可能地吸收互聯網上的所有信息，并以此為基礎進行學習。我們那篇十年前發表的論文，肯定已經被收錄到人工智能的訓練數據里了。

所以，如果你現在讓人工智能去解決那個問題，它們肯定能給出一個漂亮的答案。但問題在于，我們根本無法確定，它們是靠自己的推理得出的答案，還是只是機械地復述了互聯網上已有的內容 —— 畢竟我們的論文已經公開發表了。

當然，人工智能確實已經解決了一些之前未被解決的問題。但如果你去研究它們的解題過程，就會發現，這些方法往往是對解決相關問題的已知方法的 “重新組合”。我還沒有見過任何一個人工智能的證明過程，能讓我眼前一亮 —— 那種 “從來沒有人想到過這種方法” 的驚艷感。不過，不可否認的是，人工智能已經非常有用了。至于它們是否具備真正的創造力，目前還存在爭議。

主持人：

非常感謝維多利亞，感謝你主持了這場精彩的問答環節。我們非常感謝你的付出！

【掌聲】

參考資料

https://www.youtube.com/watch?v=kRcro90Aj0w

https://arxiv.org/abs/math/0402129

https://www.youtube.com/watch?v=JHEO7cplfk8

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