導語

集智學園聯合東京都市大學賈伊陽老師共同開設了「」課程，本系列課程將以嚴謹的理論推導為核心，逐步建立泛函分析的基礎架構。第一階段將探討從有限維跨越到無限維的動機與基礎；第二階段將重點建立度量與完備性，掌握 Banach 空間與不動點定理的精髓；第三階段將深入探討 Hilbert 空間的幾何結構與對偶空間的映射體系。最終，在第四階段，將梳理完整的結構總覽與應用地圖，透視這些純粹的數學工具如何作為底層基石，廣泛應用于現代物理、復雜系統模擬與前沿計算科學中。

作為系列課程的第九講，賈伊陽老師將以「對偶空間與泛函」為主題，本節內容將聚焦變分法、優化與PDE弱解場景，探討線性與有界泛函及Riesz表示定理。課程將揭示對象與對偶的核心關系，并從范疇論視角進行解析。正式分享將于6月7日（周日）19:00-20:30進行。

主題：對偶空間與泛函

課程簡介

研究一個對象，有時不直接看它本身，而是看它對各種線性測量的響應，再由這些響應把它認出來。優化里看函數沿每個方向的一階變分，解偏微分方程時讓方程乘上各種測試函數再積分，幾何里讓微分吃進一個切向量、吐出一個數，這三件事都是「用所有線性尺子去探測對象」。把作用在一個空間上的全體線性尺子（線性泛函）收集起來，它們自己又組成一個空間，這就是對偶空間。叫「對偶」是因為對象與尺子地位對等、互為鏡像：在有限維里兩者一樣大，取兩次對偶還會回到原點。

本講從有限維出發：行向量正是作用在列向量上的線性泛函，坐標即對偶基。隨后進入無限維，說明代數對偶「過大」、連續對偶才有用，且對偶空間依賴于所選范數。核心是 Riesz 表示定理——在 Hilbert 空間里把每個連續泛函等同于一個向量，讓尺子與對象重新對上，并以此打通變分法、最小二乘、PDE 弱解（Riesz 與 Lax–Milgram）。

后半轉向伴隨算子，它描述「觀測如何沿映射反向傳播」：矩陣轉置、微分算子的分部積分、優化中的對偶變量，都是同一定義的不同面孔；再延伸到弱收斂、切空間與余切空間、同調與上同調、de Rham 配對，直至范疇論中「對偶是反變函子」。學完能用一根對偶的主線，重新看待分析、幾何與優化中反復出現的同一結構。

課程大綱

1. 從配對到對偶空間

2. Riesz 表示定理

3. 對偶視角下的應用

4. 伴隨算子

5. 對偶的幾何與結構視角

關鍵術語

• 對偶空間：作用在某空間上的全體連續線性泛函構成的空間

• 線性泛函：把向量映成標量的線性映射

• 配對（pairing）：把「向量」與「泛函」組合成標量的雙線性運算

• 代數對偶／連續對偶：全體線性泛函與只取連續的那些；無限維下后者才有用

• Riesz 表示定理：Hilbert 空間中每個連續泛函都唯一對應一個向量

• 伴隨算子：滿足 ?Ax, y? = ?x, A*y? 的算子，反向拉回觀測

• 弱收斂：所有對偶元素作用后都收斂，比范數收斂弱

• Lax–Milgram 定理：保證一類變分問題弱解存在唯一的定理

• 余切空間：流形上線性泛函構成的空間，與切空間對偶

• de Rham 配對：微分形式與鏈通過積分構成的對偶配對

課程信息

課程主題：對偶空間與泛函

課程時間：2026年6月7日（周日） 19:00-20:30

課程形式：騰訊會議（會議信息見群內通知）；集智學園網站錄播（3個工作日內上線）

課程主講人

賈伊陽，東京都市大學講師、前日本女子大學助理教授，前日本成蹊大學助理教授。研究重點是計算復雜性，算法，以及范疇相關理論。集智學園《》課程講師。

課程適用對象

• 做微分方程、數值算法、反問題、信號處理、控制的學習者與研究者

• 做優化、機器學習、統計推斷，希望理解正則化與泛化的結構來源的研究者

• 讀量子/數學物理文獻，希望把 Hilbert 空間與算子語言用順手的研究者

• 更廣義地：經常處理“函數作為未知量”的問題、并且想要一套可遷移框架的研究者

1. 面對一個新問題，你能先問對問題：該在哪個空間里解？該用哪個范數衡量誤差？需要什么完備性？算子是否有界？

2. 你能理解常見方法背后的統一邏輯：迭代為何收斂、正則化為何穩定、最小二乘為何等價于投影、弱解為何成立。

3. 你會獲得一套“抽象但可落地”的語言：寫證明、讀論文、做建模時，能把碎片化技巧收束到結構層面。

1. 課程形式：騰訊會議直播，集智學園網站錄播。本系列課程不安排免費直播。

2. 課程周期：2026年3月29日-2026年6月14日，每周日晚19點-21點進行。

3. 課程定價：原價499

   1. 早早鳥價299，截止時間：2026年3月22日中午12點

   2. 早鳥價399，截止時間：2026年3月30日中午12點

課程鏈接：https://campus.swarma.org/v3/course/5700?from=wechat

付費流程：

2. 課程頁面添加學員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發票。

課程共創任務：課程字幕

為鼓勵學員深度參與、積極探索，我們致力于形成系列化知識傳播成果，并構建課程知識共建社群。為此，我們特別設立激勵機制，讓您的學習之旅滿載收獲與成就感。

課程以老師講授為主，每期結束后，助教會于課程群內發布字幕共創任務。學員通過參與這些任務，不僅能加深對內容的理解，還可獲得積分獎勵。積分可兌換其他讀書會課程或實物獎品，助力您的持續成長。