女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

科爾多瓦比例c = (2-√2)^-1/2，是正八邊形半徑與邊長之比。該比例由R. de la Hoz 于 1973 年提出。最近，作者發(fā)現(xiàn)了與該比例相關(guān)的幾何特性，這些特性與被他們命名為"科爾多瓦多邊形"的圖形族有關(guān)。作者通過哈希姆·卡布雷拉（Hashim Cabrera）和路易斯·卡爾沃（Luis Calvo）的藝術(shù)作品對這些成果進(jìn)行了總結(jié)和延伸，這兩位科爾多瓦畫家在近期的創(chuàng)作中有意識地考慮了科爾多瓦比例。事實(shí)上，我們在對卡布雷拉的畫作進(jìn)行的幾次剖析中都驗(yàn)證了這一比例，而在卡爾沃的畫作中，我們認(rèn)出了許多科爾多瓦多邊形和一些新的多邊形，這些多邊形已被我們添加到以前的作品集中。我們還發(fā)現(xiàn)了一些新的正方形、√2矩形和白銀矩形的科爾多瓦剖面圖。

1 引言

這部作品是兩位數(shù)學(xué)家與兩位畫家在西班牙科爾多瓦市會面并就科爾多瓦比例進(jìn)行交談的成果。

科爾多瓦比例 c = (2-√2)^-1/2 是正八邊形半徑 R 與邊長 L 之比（圖 1）。

圖1正八邊形中的科爾多瓦比例

西班牙建筑師拉斐爾·德·拉·霍茲·阿德留斯于1973年提出了這一比例，并將其命名為“科爾多瓦比例”。這個(gè)比值的無理數(shù)被稱為科爾多瓦數(shù)。根據(jù)余弦定律，在邊長為R、R和L的標(biāo)記三角形中（見圖1），我們有：

2008年之前，作者開始研究這種比例，當(dāng)時(shí)只考慮了矩形。從那一年起，他們的研究發(fā)現(xiàn)了與該比例相關(guān)的幾何特性，這些特性與被他們命名為科爾多瓦多邊形的一系列新形式有關(guān) [3-5]。

在這篇文章中，兩位科爾多瓦畫家的藝術(shù)作品總結(jié)并擴(kuò)展了這些結(jié)果，他們在最近的作品中有意識地考慮了科爾多瓦的比例。他們作品的目的、動機(jī)和視覺效果完全不同。

2多邊形形狀和科爾多瓦比例

在這一節(jié)中，我們總結(jié)了已發(fā)現(xiàn)的與科爾多瓦比例相關(guān)的主要多邊形形狀。

科爾多瓦三角形是等腰三角形，類似于圖1中的邊為R、R和l的三角形。因此，如果等腰三角形的角度為π/4、3π/8和3π/8弧度，則該三角形是“科爾多瓦三角形”（圖2）。

圖2科爾多瓦三角形及其在正八邊形中的位置

科爾多瓦矩形是邊長與邊長之比為 c 的矩形，如圖 3 所示的邊長為 R 和 L 的矩形。

圖3科爾多瓦矩形及其正八邊形構(gòu)造

科爾多瓦菱形是一個(gè)菱形，其角分別為 π/4，3π/4 弧度。這種形狀是由兩個(gè)科爾多瓦三角形結(jié)合而成。如圖 4 所示，四個(gè)八邊形相交，產(chǎn)生一個(gè)由四個(gè)菱形組成的內(nèi)星。

圖4通過90°和45°平分八角形菱形和正方形菱形

正八邊形可以分成四個(gè)全等四邊形，作者將其命名為科爾多瓦風(fēng)箏或 c 形風(fēng)箏。一個(gè) c 形風(fēng)箏由兩個(gè)科爾多瓦三角形組成。這個(gè)四邊形的角分別為 π/2、3π/8、3π/4 和 3π/8。如果八邊形的邊長為 1，則 c 形風(fēng)箏的邊長為 1、1、c 和 c，圖 5。

圖5科爾多瓦風(fēng)箏、科爾多瓦飛鏢及其從正方形開始的構(gòu)造

當(dāng)八邊形內(nèi)接一個(gè)正方形時(shí)，會出現(xiàn)另外四個(gè)全等的凹四邊形（見圖5）。這些四邊形被稱為科爾多瓦飛鏢或c型飛鏢。c型飛鏢有角π/8、π/2、π/8和5π/4以及邊1、1、c和c。

可以考慮幾種科爾多瓦五邊形，其中最相關(guān)的是通過兩個(gè)直角三角形覆蓋科爾多瓦三角形的等邊而形成的不規(guī)則多邊形（圖 6）。這個(gè)五邊形覆蓋了整個(gè)平面。它的四條邊相等，邊長為 c/√2，其余邊長為 1。它的角分別為 5π/8、π/2、3π/4、π/2 和 5π/8。

圖6科爾多瓦五邊形

科爾多瓦多邊形圖庫非常廣泛 [5]。事實(shí)上，準(zhǔn)多邊形的集合尤其有趣。事實(shí)上，兩個(gè)風(fēng)箏、兩個(gè)飛鏢或一個(gè)風(fēng)箏和一個(gè)飛鏢的組合會產(chǎn)生不同的準(zhǔn)六邊形（見圖 7）。

圖 7 科爾多瓦準(zhǔn)六邊形

同樣，通過考慮四個(gè)四邊形、風(fēng)箏或飛鏢，可以得到幾個(gè)準(zhǔn)八邊形：c-太陽（正八邊形）、四點(diǎn)星或（c-星）、c-弓、c-傘、c-月、c-魚等。見圖 8。

圖8用風(fēng)箏和飛鏢制作的幾個(gè)八邊形

3 哈希姆·卡布雷拉 靈魂的比例

哈希姆·卡布雷拉 1954 年出生于塞維利亞，不久后搬到阿爾莫多瓦·德爾里奧（西班牙科爾多瓦），現(xiàn)居住于此。他是一位對視覺藝術(shù)及其歷史、精神和哲學(xué)基礎(chǔ)感興趣的畫家和作家。在經(jīng)歷了關(guān)注形式的第一階段后，他逐漸形成了自然主義的抽象繪畫概念。通過避免使用形狀和符號，藝術(shù)家所要傳達(dá)的信息可以擺脫形式的束縛。在這種假設(shè)下，色彩和比例是唯一被允許的元素。

2008 年 2 月，他在科爾多瓦舉辦了 Los colores del alma（靈魂的色彩）畫展。十幅畫作（丙烯酸/油畫）展示了他對色彩的深刻反思。色彩的深刻思考。所有作品都是由兩個(gè)、三個(gè)或四個(gè)長方形模塊組合而成的。每個(gè)模塊都使用一種顏色。完整的闡述可
http://www.hashimcabrera.com/galeria.html.

Cabrera 聲稱，既然我們不可能永遠(yuǎn)生活在絕對的同一性中，那么同一性和多樣性就不能分開。綠色是唯一的主色調(diào)，同時(shí)也是次要色，它的主要運(yùn)用體現(xiàn)了這一理念。和諧是通過作品之間的平衡來實(shí)現(xiàn)的。支撐空間的劃分方式是由科爾多瓦比例特意安排的。此外，所有構(gòu)圖也通過科爾多瓦比例相互關(guān)聯(lián)。

令人驚訝的是，科爾多瓦數(shù)似乎與科爾多瓦年平均日照的測量值有關(guān)。這一驚人的事實(shí)引起了畫家的注意，他被這種巧合所吸引，這種巧合將宏觀的外部現(xiàn)象與基于數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在經(jīng)驗(yàn)結(jié)合在一起，從而安排了秩序和共識。這就是科爾多瓦比例。

我們在卡布雷拉畫展的油畫剖面圖中發(fā)現(xiàn)了這一比例，即使在不明顯的情況下也是如此。我們以圖 9 所示的畫作為例。從中我們可以發(fā)現(xiàn)一些幾何事實(shí)。

圖 9a 中的畫面是一個(gè)幾乎完美的正方形，由兩個(gè)模塊組合而成，這兩個(gè)模塊構(gòu)成了最簡單的科爾多瓦正方形剖面圖：

正方形可以分成一個(gè)科爾多瓦矩形和一個(gè)比例為 c/(c-1) 的矩形。

圖 9 Hashim Cabrera 的四幅油畫

畫布的圖形分析如圖10所示。在左邊，我們可以看到這幅畫。在中心，我們觀察前面提到的正方形的剖分，通過幾何設(shè)計(jì)程序精確地制作。在右邊，通過前面圖像的簡單疊加，展示了卡布雷拉完成的“近乎完美”的科爾多瓦剖分。

圖10雙聯(lián)鉻綠/黑色上的科爾多瓦分區(qū)

從圖 11 的剖面圖開始，我們可以移動矩形，使其位于正方形的中心。結(jié)果就是另一個(gè)正方形的科爾多瓦剖面圖，即圖 12：

正方形可以分割成一個(gè)比例為 c/(c-1) 的矩形和兩個(gè)比例為 2c 的矩形。

圖11正方形是科爾多瓦矩形和矩形c/（c-1）的并集

圖 12 將正方形分成比例為 2c 和 c/(c-1) 的長方形

我們在"Visitors"中已經(jīng)認(rèn)識到了這種剖面，我們可以看到一條白色的中心條帶對稱地分割了畫布。確切地說，該條紋是一個(gè)比例為 c/(c-1) 的矩形。

圖 13 用簡潔的文字說明了圖 9b 中對這幅畫的圖形分析。

圖 13 Visitors上的科爾多瓦分割線

再次從正方形的第一次分割開始，我們可以實(shí)現(xiàn)比率為c/（2c–2）的矩形的調(diào)和分割，如圖14所示。

圖 14 矩形 c/(2c-2) 的構(gòu)造和剖分

這種模式出現(xiàn)在圖 9c 的綠色/黑色三聯(lián)畫中。圖 15 解釋了這一結(jié)論。請注意，兩條藍(lán)線是平行的，上邊的線是白色矩形 c/(c-1) 對角線的延長線。

圖 15 綠色/黑色三聯(lián)畫中的矩形 c/(2c-2)

圖 9d 展示的是水果花園，這種構(gòu)圖令人驚訝。這幅畫由一個(gè)正方形模塊和另一個(gè)長方形模塊組成。只有在這種情況下，畫家才會意識到這種構(gòu)圖中的比例是偶然考慮的。令人驚訝的是，即使在這種情況下，科爾多瓦比例也會出現(xiàn)。見圖 16。

圖 16 走向黃金矩形的花園/果園

事實(shí)上，矩形模塊是由一個(gè)正方形和一個(gè)科爾多瓦矩形組合而成的。

我們發(fā)現(xiàn)了與斐波那契數(shù)列 Gn = Gn-2 + Gn-1 相關(guān)的偽天文增長的兩個(gè)第一步，n = 2、3、4......，初始項(xiàng) G0 = c 和 G1 = 1：

請注意

其中Fn是通常的斐波那契數(shù)列的項(xiàng)Fn = Fn-2 + Fn-1，n = 2，3，4，...從F0 = 0和F1 = 1開始。所以畫家直觀的形狀可以被認(rèn)為是黃金矩形的近似。

4 路易斯·卡爾沃：科爾多瓦清真寺矢量圖

路易斯·卡爾沃出生于 1959 年，是一名設(shè)計(jì)師，對家鄉(xiāng)科爾多瓦的歷史和建筑情有獨(dú)鐘。2008 年 12 月，布魯塞爾塞萬提斯學(xué)院（Cervantes Institute）舉辦了一次藝術(shù)展，通過八位藝術(shù)家的作品展示了科爾多瓦市的文化內(nèi)涵。卡爾沃以一幅名為 "La Proporcion Cordobesa"（科爾多瓦比例）的畫作（圖 17）參與了此次集體展覽，在這幅畫作中，作者向這座城市最具代表性的建筑——清真寺表達(dá)了敬意。卡爾沃的作品是在棉布上繪制的矢量圖，畫框排列成矩形，代表了科爾多瓦清真寺的平面圖。

從圖中，我們可以看到五個(gè)矩形模塊，每個(gè)模塊的顏色都不同，與建筑施工的不同階段相呼應(yīng)。在整個(gè)矩形上，我們可以看到許多八角形的星星。每個(gè)八角星都鑲嵌在一個(gè)幾何框架中，該框架由一個(gè)長方形網(wǎng)格和另一個(gè)相對于第一個(gè)網(wǎng)格旋轉(zhuǎn)的網(wǎng)格共同組成。

讓我們把注意力集中在放置八角星的幾何骨架上。當(dāng)我們構(gòu)建它時(shí)，它的數(shù)學(xué)趣味就顯而易見了。

圖17科爾多瓦比例（2008年）

如圖18所示，用平行于正方形邊的線切開正方形內(nèi)接的正八邊形，我們可以確定一個(gè)由四個(gè)比例為√2的全等矩形、四個(gè)全等正方形和一個(gè)大中心正方形組成的復(fù)合圖形。該模塊將是初始網(wǎng)格的基礎(chǔ)。

圖18初始網(wǎng)格的基礎(chǔ)

要構(gòu)造的第一個(gè)圖形是星形八邊形，用8/2表示(圖19a)，它由兩個(gè)正方形組成。在下一步中，在前一顆恒星內(nèi)，我們繪制恒星八邊形8/3，或八元圖，其點(diǎn)位于恒星8/2的凸頂點(diǎn)上(圖19b)。

圖19生成基準(zhǔn)星

回到第一顆星8/2，我們繪制另一顆星8/3，它的點(diǎn)在初始星8/2的點(diǎn)中。這一操作確定了八個(gè)交錯(cuò)的科爾多瓦三角形，其角在星形的角上為45°（圖19c）。在構(gòu)圖中心確定的小內(nèi)部星8/2內(nèi)，我們重復(fù)前面幾行中描述的相同操作。該構(gòu)圖在網(wǎng)格上以兩個(gè)獨(dú)立的方向平移，圖20（左）。最后，我們在前面四個(gè)模塊包圍的內(nèi)部規(guī)范模塊上安裝另一個(gè)相同的設(shè)計(jì)。最終結(jié)果是一個(gè)由五個(gè)交錯(cuò)模塊組成的網(wǎng)格，如圖20（右）。

圖20生成模式基礎(chǔ)

通過兩個(gè)獨(dú)立的矢量，我們可以將五種構(gòu)圖進(jìn)行平移，從而得到一幅由矩形和正方形組成的平鋪圖，其中一些矩形和正方形由八邊形幾何圖形中的線段裝飾，如圖 21 所示。

圖 21 網(wǎng)格中的矩形和方形模塊

值得注意的是，藝術(shù)家采用了截然不同的建造程序。卡爾沃的起點(diǎn)是將 T1 模塊戰(zhàn)略性地放置在矩形網(wǎng)格的小方格中，如圖 18 所示。接下來，線段被延伸，并通過添加剩余的線條完成繪圖。見圖 22。

在 T1 模塊中，科爾多瓦菱形純粹是鑲嵌在一個(gè)由 90°和 45°兩角一分為二構(gòu)成的正方形中（見圖 4）。我們可以看到，這種形狀是折紙的兩個(gè)基礎(chǔ)之一：魚形基礎(chǔ)。八世紀(jì)時(shí)，折紙藝術(shù)在阿拉伯人中非常流行。卡爾沃的個(gè)人建議是，科爾多瓦清真寺是由懂得并使用折紙技術(shù)的砌磚大師建造的。這就是模塊 T1 在藝術(shù)家所遵循的方式中發(fā)揮主要作用的原因。

通過前面兩種不同的結(jié)構(gòu)，最終的結(jié)果都是一樣的，即現(xiàn)代的 "tasteir"（直線幾何學(xué)）。科爾多瓦比例從這個(gè)星空長廊中浮現(xiàn)出來，其中有幾個(gè)科爾多瓦多邊形很容易辨認(rèn)，它們并不是有意識繪制的，而是以一種隱含的方式出現(xiàn)。我們在網(wǎng)格中發(fā)現(xiàn)了一些新的多邊形，可以將它們添加到我們之前的作品中。

為了澄清對畫布的理解，我們將其視為一個(gè)由八行十一列組成的數(shù)組，我們將對每個(gè)方框或方框組進(jìn)行編碼，如圖 23 所示。該圖的背景是作者友情提供的繪畫草圖。

圖 23 將畫布編碼

科爾多瓦鉆石在多個(gè)方格中都能找到。例如，在 Ai,j 中，I = 2、4、6、8，j = 1、3、5、7、9、11。科爾多瓦三角形分布在圖片的各個(gè)角落。例如，在方框 A4,5;2,3，我們可以看到兩個(gè)科爾多瓦三角形，它們分別被對方和各自的圓規(guī)分割。A3,4;3,4 中有一個(gè) c 形弓。一個(gè)被稱為星形的凹八邊形和一個(gè) c 傘形明確位于 A3,4,5;2,3,4。在 A5,6,7;4,5,6 中有八邊形 c 魚和 c 月亮，依此類推，如圖 24。

圖 24 方框 A4,5;2,3、A3,4;3,4、A3,4,5;2,3,4 和 A5,6,7;4,5,6 中的科爾多瓦多邊形

通過分析這幅圖，我們可以確定一些新的五邊形，它們將使作者發(fā)現(xiàn)的五邊形家族更加完整。這些新的科爾多瓦五邊形被切割成矩形、正方形、科爾多瓦三角形和團(tuán)子，見圖 25。第一個(gè)五邊形涉及科爾多瓦數(shù)和銀數(shù) θ = 1+√2。它們出現(xiàn)在第一行和第二行，經(jīng)過幾列：A1,2;1,2,3，A1,2;5,6,7，A1,2;9,10,11。這些對稱五邊形可以在 A4,5;1,2,3、A4,5;5,6,7、A4,5;9,10,11 中找到。

圖 25 方框 A7,8,9;6,7,8 中的三個(gè)五邊形

通過觀察 T2 模塊，我們可以發(fā)現(xiàn)有關(guān)矩形 √2 的一些幾何事實(shí)。圖 26 上一行解釋了 T2 模塊的構(gòu)造步驟。從第一幅圖中可以看出，矩形√2 可以分割成一個(gè)銀矩形和兩個(gè)比例為 c2 的矩形。

圖 26 矩形 √2 的剖面圖

在下一行左側(cè)，我們可以看到矩形√2 的另一個(gè)剖面圖。在這種情況下，結(jié)果是三個(gè)科爾多瓦三角形、一個(gè)等腰三角形和兩個(gè)對稱斜邊三角形的結(jié)合。該等腰三角形是標(biāo)角三角形的圓角，而標(biāo)角三角形正是科爾多瓦三角形的圓角。其余的圖片顯示了矩形 √2 中一個(gè) c 型鏢和一個(gè) c 型風(fēng)箏的位置。

5 結(jié)論

我們可以得出結(jié)論，科爾多瓦比例不只是一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)明。創(chuàng)造一個(gè)新的幾何術(shù)語并非易事，但卡布雷拉和卡爾沃等藝術(shù)家在他們的藝術(shù)作品中都考慮到了這一點(diǎn)。數(shù)學(xué)家和藝術(shù)家在兩個(gè)截然不同的領(lǐng)域進(jìn)行研究，最終匯聚到一個(gè)共同點(diǎn)上：科爾多瓦比例是科爾多瓦清真寺的靈魂。

參考文獻(xiàn)

1. Hoz, R.: La proporcion Cordobesa. Actas de la quinta asamblea de instituciones de Cultura de las Diputaciones. Ed. Diputacion de Cordoba (1973)

2. Hoz, R.: Rafael de la Hoz. Consejo Superior de los Colegios de Arquitectos de Espana. ISBN

8460977234. Cordoba (Spain) (2005)

3. Redondo, A., Reyes, E.: The cordovan proportion: geometry, art and paper folding. Proceedings of 7th Interdisciplinary Conference ISAMA 2008-Valencia, pp. 107–114, Spain, Hyperseeing, May–June (2008a)

4. Redondo, A., Reyes, E.: The geometry of the cordovan polygons. Vis. Math. 10(4) (2008b),

www.mi.sanu.ac.yu/vismath/redondo2009/cordovan.pdf

5. Redondo, A., Reyes, E.: Cordovan geometrical patterns and designs. Symmetry: Art and Science, 009/1–4. Special Issue for the Conference of ISIS-Symmetry. Symmetry of Forms and Structures, pp. 68–71, Wroclaw-Cracow, Poland (2009)

6 http://www.hashimcabrera.com/galeria.html

7 http://www.lacajadelagua.com/la_sexta_mirada/aut_luis.html

8 Antonia Redondo Buitrago and Encarnacion Reyes Iglesias, Geometry and Art from the Cordovan Proportion

青山不改，綠水長流，在下告退。

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