現在網上流行沒有人能正確使用我的東西。

其實很早之前數學家圖靈就做到了沒人能正確使用他的自行車。

處理事情上，他總和別人不同，并且自有一番自己的道理。

用領帶系褲腰帶，騎自行車帶防毒面具，當然數學題解法也常常與老師要求不同。

很符合大眾眼里天才總是獨特且奇怪的刻板印象，數學故事大王斯圖爾特是怎么講述他的？或許數學家的人生故事比網文還精彩！

01

沒人能正確使用圖靈的自行車

據布萊奇利園的同事杰克·古德（Jack Good）說，圖靈患有花粉癥。他是騎自行車上班的，每年6月都要戴上防毒面具，好避免接觸花粉。

他的自行車有點兒問題，經常掉鏈子。于是，圖靈隨身攜帶一罐油和一塊抹布，以便在復位鏈條后做好清理。

終于，他厭倦了來回折騰，決定更為合理地解決問題。他開始計算踏板在鏈條兩次脫落之間轉動了多少圈。

這個數非常穩定。將它與自行車鏈條的節數和后輪的輻條數比較一番之后，他推斷出，只要鏈條和車輪處于某個特定的位置，鏈條就會脫落。接下來，他不斷計數，以便在鏈條即將脫落時提醒自己，并采取一種操作方法避免掉鏈子。他不再需要帶油和抹布了。最后，圖靈發現有一根略微彎曲的輻條碰到了一節損壞的鏈條。

這也算是理性的勝利了，只是其他人會把自行車送去維修店，修理師傅會更快速地查出問題所在。

但是換個角度看，圖靈沒有這樣做，不僅節省了修理費，也確保了沒有其他人騎他的自行車。

正如在其他事上一樣，他有自己的一番道理，只不過和其他人不同而已。

02

很受歡迎的書呆子

圖靈的父親朱利葉斯·圖靈（Julius Turing）在印度做公務員。他的母親埃塞爾·斯托尼（Ethel Stoney）是馬德拉斯鐵路總工程師的女兒。這對夫婦希望他們的孩子在英國長大，因此搬到了倫敦。圖靈是兩個兒子中的老二。6歲時，他去海濱城鎮圣倫納茲（St Leonards）上學，女校長很快發現他異常聰明。

到了13歲，圖靈進入舍伯恩（Sherborne）學校，這是一所獨立的“公學”，在頗有幾分奇特的英式說法中，這種學校是私立的，需要付費，生源多為富家子弟。和大多數同類學校一樣，這里非常重視古典學。

圖靈的字寫得不好，英語也很差，甚至在他最喜歡的科目數學上，他也更在意自己的解答，而不是老師要求的答案。無論由此產生的影響是好是壞，他都贏得了所有數學獎項。他還喜歡化學，但同樣偏愛自己搗鼓。

他的校長寫道：“如果他只想成為一名科學專家，那他來公學就是在浪費時間。”

這話說得很對。

學校不知道的是，圖靈在課余時間通過閱讀愛因斯坦的論文知道了相對論，又通過閱讀阿瑟·埃丁頓（Arthur Eddington）的《物理世界的本質》（The Nature of the Physical World）知道了量子理論。1928年，他與高他一年級的克里斯托弗·莫科姆（Christopher Morcom）成為好友，他們對科學有著共同的興趣。但不到兩年，莫科姆就去世了。

圖靈悲痛至極，但他在求知上依然勤勉，并贏得了去劍橋大學國王學院學習數學的機會。圖靈繼續閱讀那些遠遠超前或者說超出本科課程的教材。他于1934年畢業。

圖靈其人極為不修邊幅。即使穿西裝，他也很少熨燙好。據說他是用領帶系褲子的，有時也用繩子。圖靈笑聲洪亮但不大悅耳，甚至有點兒像驢叫。他還有語言障礙，但與其說他結巴，倒不如說他在頭腦中找尋合適的詞時會突然頓住，開始“啊，啊，啊……”。他刮起臉來不大細致，總是有點兒胡子拉碴的。

他經常被描繪成一個神經兮兮、不善社交的書呆子，但實際上他人緣不錯，很受歡迎。圖靈表面上的古怪主要源于原創性，他思考的內容和他的思考方式都很獨特。在研究問題時，圖靈會發現其他人完全覺察不到的角度。

一年后，他學習了馬克斯·紐曼（Max Newman）關于數學之基礎的研究生課程，從中了解了希爾伯特的計劃，以及哥德爾是怎樣讓這個計劃破產的。

圖靈意識到，哥德爾關于不可判定的定理實際上是有關算法的。針對一個問題，如果存在提供答案的算法，那么這個問題就是可判定的。面對給定的問題，能找到對應的算法就意味著你可以做出證明。而不可判定則更深奧、更難對付：你必須證明不存在這樣的算法。

為了讓這番探索繼續下去，算法本身必須先有一個精確的定義。哥德爾實際上討論過這個問題，他把算法看作公理系統中的證明。而圖靈則開始思考如何對算法進行一般形式化。

03

圖靈的兩個重要定理

1935 年，因為獨立發現了概率論中的中心極限定理，為統計推斷中“鐘形曲線”，即正態分布的廣泛使用提供了依據，圖靈成為國王學院的研究員。1936年，隨著重要論文《論可計算數及其在判定問題上的應用》（“On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem”）發表，他對哥德爾定理的思考脫穎而出。在這篇論文中，他證明了一種形式上的計算模型（現在稱為圖靈機）的不可判定定理。

圖靈指出，任何算法都無法事先判定計算是否會在得到答案后停止。他的證明比哥德爾的更簡潔，盡管兩者都需要先用一些技巧來建立情境。

雖然名稱中有“機”，但圖靈機是抽象的數學模型，代表一種理想化的機器。圖靈稱它為“a機”，其中a代表“自動的”（automatic）。

我們可以想象一條帶子，上面分出了一系列相鄰的小格子，格子里要么是空的，要么包含一個符號。這種帶子像是機器的存儲器，長度沒有限制，但存在盡頭。到達盡頭之后，你可以繼續增加新的格子。有一個部件位于初始格子的上方，負責讀取其中的符號。然后，它會查閱規則表（由用戶提供程序），在格子中寫入一個符號（覆蓋已存在的任何符號），并將帶子移動一格。接下來，根據規則表和符號，機器要么停止，要么針對新的一格完成表中關于符號的指令。

圖靈機有許多變體，但就能夠完成同類計算來看，所有變體都是等價的。事實上，這種最基本的機器在原理上可以計算數字計算機所能計算的任何東西，無論后者有多么快速和先進。例如，使用包括0～9在內的一些符號，圖靈機可以通過編程將π計算到小數點后任意位數，并寫入帶子上的一連串格子，最后停止。對如此簡單的設備來說，這樣的通用程度似乎令人驚訝，但計算有多復雜要看規則表，規則表也許相當不簡單。這就好比計算機會做什么，取決于其中運行的軟件。

然而，圖靈機的簡潔也導致了它的緩慢，因為即使是簡單的計算也需要大量的步驟。它本身并不實用，但這種簡潔性使它非常適合用于研究有關計算極限的理論問題。

圖靈的第一個重要定理證明了通用圖靈機的存在，它可以模擬任何特定的圖靈機。在計算開始之前，特定圖靈機的程序被編碼到通用圖靈機的帶子上。規則表會告訴通用圖靈機如何將這些符號解碼為指令，并執行它們。通用圖靈機結構的提出是一次重要的進步，將引導人們制造出以內存存儲程序的真實可用的計算機。除了一些非常特殊的應用情境，我們不會為每一個問題制造一種新的計算機，并專門編寫一個又一個固定程序。

圖靈的第二個重要定理和哥德爾有關，證明了圖靈機的停機問題是不可判定的。這個問題要求找到一種算法，能夠在給定圖靈機程序的情況下，判定機器（最終）會得出答案并停止，還是永遠計算下去。圖靈證明不存在這樣的算法，也就是說停機問題是不可判定的。假定存在這樣的算法，將該算法構造出的機器應用于自身程序，問題就被巧妙地轉換成了當且僅當原機不停機時，模擬機才會停機。

于是矛盾出現了：模擬機會停機就意味著不會停機，不會停機就意味著會停機。我們已經看到，哥德爾的證明最終被編碼為一個形似“此陳述為假”的陳述。圖靈的證明則更簡單，它更像是一張卡片，卡片的兩面分別印有下面兩句話：

卡片另一面的陳述是真的。

卡片另一面的陳述是假的。

兩條陳述都分兩步暗示了自己是站不住腳的。

圖靈向《倫敦數學學會會報》（Proceedings of the London Mathematical Society）提交了他的論文，但他并不知道，幾周前美國數理邏輯學家阿朗佐·丘奇（Alonzo Church）剛在《美國數學期刊》（American Journal of Mathematics）上發表了《初等數論中的一個不可解問題》（“An Unsolvable Problem in Elementary Number Theory”），為哥德爾的算術不可判定提供了另一種證明思路。

丘奇的證明非常復雜，但他的論文發表得更早。紐曼勸說編輯部接收圖靈的論文，因為它在概念和結構上都要簡單得多。而圖靈則配合修改，引用了丘奇的作品。

故事有了一個圓滿的結局，因為圖靈后來去了普林斯頓大學，在丘奇的指導下攻讀博士學位。他的博士論文于1938年發表，題目是《基于序數的邏輯系統》（“Systems of Logic Based on Ordinals”）。

《數學巨人傳 : 思考、創造的奇趣故事》

作者： [英] 伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）

譯者：張憬

享譽世界的數學科普作家斯圖爾特全新力作，聚焦奠定數學發展之路的25位天才，用純粹思想的力量塑造兩千年的世界。

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