在你看不見的角落，數學家們馴服了126維的“怪獸”

2024年，數學家證明126維空間存在Kervaire不變量為1的流形，從而完全解決了有著60余年歷史的Kervaire不變量問題。值得一提的是，完成這項突破性成果的三人均是北大校友。

撰文 | Marianne Freiberger

翻譯 | 楠客

審校 | 7號機

能否通過一種叫“手術”的拓撲變換，將形態各異的幾何空間重塑為球體？這個拓撲學中著名的Kervaire不變量問題困擾了科學家們很久，直到最近才被徹底解決。

2024年5月30日，普林斯頓大學研討會的參會者見證了一個激動人心的時刻。加州大學洛杉磯分校的數學家徐宙利宣布，他與同事們一起解決了一個自20世紀60年代以來一直困擾著數學家的問題——第126維的Kervaire不變量問題。這個問題涉及奇異形體，被稱為Kervaire不變量問題，以數學家米歇爾·科維爾（Michel Kervaire）的名字命名。

去年，徐教授訪問了位于劍橋的艾薩克·牛頓數學科學研究所，參與了名為“等變同倫論”（帶有對稱性（群作用）的空間連續形變）的研究項目。他在這里與明尼蘇達大學的邁克爾·希爾（Michael Hill）教授合作，后者在2009年幫助他取得了突破性的進展。

讓我們跟著希爾和徐宙利的視角領略各個維度，重走漫長而艱辛的 Kervaire 不變量問題證明之旅。

何為最完美的形狀？

講述這個引人入勝的問題的一種方法是，從“哪種幾何形狀最令人愉悅？”這個問題入手。雖然這取決于個人品味和喜好，不過球體無疑是強有力的競爭者。它圓潤完美，永無止境，而且自成一體。

球體是一種非常理想的形狀，很容易描述——球體由所有到給定中心點距離為固定值r的點組成。一旦你知道了中心點和半徑r，你就掌握了關于球體的一切信息。它完美地平衡了簡潔與完美。“球體是一個非常美麗的物體，”徐宙利曾說，“如果你在尋找一個[范圍有限的物體]，球體就是大部分人首先想到的例子。”

球體是由到給定中心點距離相等、距離固定的所有點組成的。

來源：freepik

拓撲學：探究“孔洞”的重要性

鑒于球體的特殊地位，一個自然而然的問題是：任何其他形狀與球體究竟有多大區別？高爾夫球和橙子并非完美的球體，它們表面有凹陷和凸起。然而，如果就此斷言它們的形狀本質上并非球形，那就太片面了。

橙子和高爾夫球雖然不是完美的球形，但它們仍然具有球形的一些特征。

拓撲學這一數學領域，可以幫助我們理解這一點。在拓撲學中，無需切割或粘合即可相互變形轉化的兩種形狀被認為是等價的。在這種較為寬松的視角下，高爾夫球和橙子等價于球體。

球體本質上是一個曲面。雖然它在我們學校里學到的三維歐幾里得空間里很常見，但其自身卻僅具有二維屬性（僅需要兩個維度：經度和緯度，即可描述球面上任意一點的位置）。當然，曲面的形態遠不止這一種，事實上，曲面的形態是無窮無盡的。你的手機或筆記本電腦屏幕各自構成了一個曲面，你正準備享用的咖啡和甜甜圈也是如此，而且盛放咖啡的杯子本身也是一個曲面。

事實上，曲面種類繁多，無窮無盡。當數學家們面對如此無窮無盡的對象時，他們便會想要對它們進行分類。“分類定理的強大之處在于它能給你一個完整的列表，”徐宙利說，“這就像有很多籃子。給定一個特定的物體，你就有辦法決定它應該放在哪個籃子里。”

在拓撲學中，分類的依據是孔洞。拓撲等價于球面的曲面不能有任何孔洞：如果它們有孔洞，那么為了得到一個球面，你就必須把這些孔洞粘起來，而這是不允許的。這就是為什么甜甜圈（“環”面）不等價于球面。然而，它卻等價于咖啡杯，因為咖啡杯也有一個孔。

把甜甜圈變成咖啡杯。

這種方法也普遍適用于其他曲面。假設你正在觀察一個曲面，它的性質與球面和環面類似，都是封閉的。首先，這意味著它沒有邊緣，你不會在上面行走時摔倒。球面和環面都符合這個條件，但圓盤則不然，因為圓盤有清晰的邊界。其次，封閉性還意味著你的曲面是有限的，也就是說，你可以用有限數量的面片來構建它（這種性質也稱為“緊致性”）。同樣，球面和環面也符合這個條件，但平面則不然，因為平面向各個方向無限延伸，所以你需要無限多個面片才能構建它。

最后，假設你所觀察的曲面是“可定向的”——這意味著它有明確的內外之分。球體和環面都符合這個條件，但只有一面的莫比烏斯帶則不符合。

莫比烏斯帶和球體一樣都是曲面。但與球體不同的是，它沒有兩個不同的面。它是不可定向的。圖片：David Benbennik，CC BY-SA 2.0

事實證明，任何封閉且可定向的曲面，其拓撲性質完全由其所擁有的“孔洞”的數量決定：如果沒有孔洞，則其拓撲等價于球面；如果有一個孔洞，則其拓撲等價于環面；如果有兩個孔洞，則其拓撲等價于一個有兩個孔洞的環面，以此類推。一旦確定了曲面的孔洞數量（也稱為曲面的“虧格”），就知道它屬于哪個拓撲類——這是一種簡潔的孔洞層級結構。

一個球體、一個環面、一個有兩個孔的曲面和一個有三個孔的曲面。但與球體不同的是，它沒有兩個不同的面。

數學家將曲面上的孔洞數量稱“不變量”。在拓撲學允許的變換范圍內（不進行切割或粘貼），曲面上的孔洞數量不會改變。通常，在數學中，不變量是分類對象的有效工具。所有不變量值相同的對象都被歸入同一個類別。例如，我們可以將沒有孔洞的曲面歸為一類，將有一個孔洞的曲面歸為一類，將有兩個孔洞的曲面歸為一類，以此類推。

回到我們最初的問題，即哪些表面可以被視為是“接近”或“近似”球體呢？現在我們有了一個可能的答案。它們就是“第一個籃子”里的那些：閉合的、可定向的、沒有孔洞的曲面。

更高維度呢？

正如本文開頭所述，真正有趣的事情發生在維度提升之時。我們無法在高維空間中直觀地看到形狀，因為我們的大腦天生就不具備這種能力。然而，我們完全可以用數學方法來定義高維空間以及存在于其中的形狀。只要掌握了數學工具，即使看不到物體，也能對其進行運算。

我們熟知的普通球體被稱為二維球面，因為它是一個二維物體。對于每個維度n（n可以是3及以上的任意整數），都存在一個與二維球面類似的物體，稱為n維球面。正如二維球面存在于一個三維空間中一樣，你也可以將n維球面想象成存在于一個n+1維空間中。

對于每個維度n，都存在被稱為n維流形的形狀（抽象的，可以變形的幾何空間結構）。就我們目前的討論而言，它們是可以被看作是“曲面”在高維空間中的對應物。這些n維流形的形狀附帶一些映射，可以幫助我們剖析和理解它們。

龐加萊猜想

現在你可以提出與前文相同的問題：哪些n維流形在拓撲上等價于n維球面？對于三維流形來說，這個問題引發了一場持續百年的數學遠征。受普通二維球面研究結論的啟發，法國數學家亨利·龐加萊于1904年提出猜想：所有閉合且“無孔洞”的3維流形，在拓撲上都等價于3維球面。

因為這與我們可以直接想象的低維情形完全可以直接類比，你可能會認為這個結果應該很容易證明。但是事實并非如此，20世紀代數拓撲學的大部分研究都集中在證明龐加萊猜想上。直到21世紀初，俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼（Grigory Perelman）發表了三篇論文，證明了龐加萊猜想（實際上，他證明了一個更廣的結果，稱為“瑟斯頓幾何化猜想”，以數學家比爾·瑟斯頓（Bill Thurston)的名字命名）。佩雷爾曼因其工作于2006年被授予菲爾茲獎，這是數學界最重要的獎項之一，但他拒絕接受，這也是菲爾茲獎首次被拒絕。

1992 年的格里戈里·佩雷爾曼（Grigory Perelman）照片：George Bergmann，CC BY-SA 4.0。

由于龐加萊猜想在三維球面上都難以證明，人們可能就會認為更高維度的證明會更加困難。但奇怪的是，事實并非如此。在佩雷爾曼證明三維球面上的龐加萊猜想之前很久，四維及更高維度球面上的龐加萊猜想的推廣版本就已經被證明了——五維球面上的證明在20世紀60年代被證明，四維球面上的證明在20世紀80年代被證明。約翰·米爾諾（John Milnor）、史蒂夫·斯梅爾（Steve Smale）和邁克爾·弗里德曼（Michael Freedman）也因此分別獲得了菲爾茲獎章。

在前面我們梳理了任意維度中與球面拓撲結構最接近的類比對象。現在，我們準備尋找稍微遠一些的類比對象——而這正是Kervaire不變量問題的核心所在。

如果我們不再局限于那些只能擠壓或拉伸，而不允許切割或粘合的流形，而是允許更劇烈的改變，會怎么樣呢？如果我們允許從流形中切割出部分形狀，并將新的形狀沿著切割后的原始形狀的邊界粘合進去，又會怎么樣呢？如下圖所示，這樣一來，就可以將環面變成球面。

沿著藍線（頂部）切割圓環，并將其彎開，得到一個兩端開口的管子（左下）。然后在開口處粘上蓋子（右上），并將形狀“充氣”成球體（右下）。

實際上，這種切割和拼接的操作在數學上有著明確的定義，稱為“手術(surgery)”。你可以將那些能通過“手術”變成球面的曲面想象成球體的“遠房表親“”。它們在拓撲學上并不等價于球面，但經過一些“手術”處理后就能變成球面。

Kervaire不變量問題旨在尋找與球面密切相關的、具有手術性質的“表親”。它僅限于在帶有框架的流形中尋找，也就是說，這些流形帶有其在周圍高維空間中位置的額外信息。問題是：給定一個帶有框架的n維流形，它能否通過手術轉化為n維球面？

頑固的維度

1969 年，美國數學家威廉·布勞德（William Browder）證明，在“大多數”維度中，任何框架流形都可以通過手術轉化為拓撲球面，這一發現使該問題取得了重大進展。

由此產生的拓撲球面被稱為奇異球面，這意味著它擁有更深層的數學結構（微分結構），與真正的n維球面有著本質區別。將奇異球面轉化為真正的n維球面的過程，包含著劇烈的波動和變化，而這種更深層的結構無法承受這些波動。米爾諾在20世紀50年代發現了奇異球面，并發明了處理它們的“手術”方法。盡管奇異球面確實很奇特，但它們仍然是拓撲球面。

以此類推。這意味著對于框架化的二維流形、六維流形、十四維流形、三十維流形等等，它們有可能非常棘手，即使通過切割和粘貼的方式也無法將它們變成拓撲球面。

屢敗屢戰

正是這個不變量再次幫助我們找到了這些棘手的流形。1960年，在土耳其數學家卡希特·阿爾夫（Cahit Arf）工作的基礎上，科維爾（Kervaire）定義了一個數，可以針對任何給定的框架流形計算該數。它的值始終為0或1。如果該數的值為0，則該流形可以被精確地轉換為球面；如果值為1，則該流形無法被精確地轉換為球面。這個數后來被稱為Kervaire不變量。它定義了兩個類別：一個類別包含可以精確地轉換為球面的流形，另一個類別包含不能精確轉換為球面的流形。

根據布勞德的結論，Kervaire不變量只有在維數為2k-2的流形上才能等于1。因此，數學家們開始尋找這類特殊的流形，并取得了一些初步的成功。到了20世紀80年代，他們已經證明，在2、6、14、30和62維的流形中，存在Kervaire不變量為1的框架流形。

邁克爾·希爾（Michael Hill）

在這些案例中，阻礙“手術”構建的是它們的框架結構，也就是它們在周圍空間中的位置。“對于給定的流形，可能存在不同的框架結構，”徐宙利說道。“在一種框架結構下，你或許可以通過手術將流形轉化為球體，但在另一種框架結構下則可能不行。”即使是簡單的環面也存在阻礙手術的框架結構。通俗點來說，就是一旦框架結構源于對環面的扭曲，使其穿過自身。這種扭曲無法通過手術逆轉。

四維空間中，進階版「莫比烏斯帶」—— Klein瓶的演化。

數學的本質往往是仁慈的，它總能證實數學家門所語感的規律。因此人們曾普遍假設2k-2列表中的所有其他維度都會遵循同樣的規律：所有這些維度都包含Kervaire不變量1的框架流形。

希爾說：“當時的主流觀點認為這些流形都存在，而且該領域的大多數研究人員都曾試圖證明這一點。”英國數學家維克托·斯奈斯（Victor Snaith）甚至在2009年出版了一本關于Kervaire不變量流形1的書，并在序言中寫道：“這本書最終可能會證明它們并不存在。”這種它們可能不存在的情況被稱為“末日假說”，因為它似乎會讓很多研究成果付諸東流。

“但是，人們試圖證明[存在的框架流形Kervaire不變量1的證明]的努力總是付諸東流，”希爾說，“人們就像海浪一樣不斷撞擊巖石海岸。”

希爾，邁克·霍普金斯（Mike Hopkins）和道格拉斯·雷文內爾（Douglas Ravenel）決定從側面入手解決這個問題。“我們一直在研究霍普金斯和米勒開發的所謂高階實K理論，”希爾說。這些工具用于同倫理論（空間連續變化），前景廣闊，但人們尚未能將其應用于許多領域。“我們當時想，等等，我們能不能用這些工具來解釋Kervaire不變量的問題呢？于是我們坐下來做了些初步計算，看看整個過程該如何進行。”

事實證明，這個想法令人大吃一驚。斯奈斯出版了他那本影響深遠的著作后不久，希爾、霍普金斯和雷文內爾就證明，在254維及以上的空間中，不存在Kervaire不變量等于1的流形。“我們當時想，我的天哪，情況比我們想象的要復雜得多。這比我們預想的還要離奇。”

最后的疆界：維度126

這樣就剩下一個維度尚未解決——126維。希爾及其同事取得突破后不久，徐宙利在彼得·梅（Peter May）的指導下于芝加哥大學攻讀博士學位。“當時我正在彼得·梅的辦公室里和其他新來的博士生聊天”彼得突然說：“最近希爾、霍普金斯和雷文內爾解決了Kervaire不變量問題，但有一個例外：126維。你為什么不試著去解決這個問題呢？這就是你的論文課題了。”我以為他在開玩笑。”

但彼得是認真的——徐宙利感到畏懼，也是情理之中的。彼得把徐宙利介紹給了馬克·馬霍瓦爾德（Mark Mahowald），當時他是西北大學（美國高校）該領域的權威專家，后來也成為了徐宙利的博士生導師。“Kervaire不變量問題屬于一個更大的領域，即研究球面的穩定同倫群” 徐宙利說，“馬霍瓦爾德對這個領域有著百科全書般的了解，不僅僅是文獻方面的知識：他腦子里也裝著很多東西。”馬霍瓦爾德也向徐宙利證實了，126維問題是一個“畢生難解的難題”。

徐宙利

徐宙利于2011年開始研究這個領域時，那會人們對126維空間的發展方向還沒有什么清晰的認識。而且用于126維以上空間的方法與用于低維空間的方法截然不同。徐宙利首先深入研究了62維空間——這是126維之前最后一個符合要求的維度。有趣的是，要證明62維空間的結果，并不需要了解之前所有維度的全部信息。“這里有個捷徑，”徐宙利說，“你只需要掌握大約四分之三維度的完整信息——直到大約45或47維。”

為此，徐宙利需要深入理解球面上的穩定同倫群——這些對象涉及不同維度球面之間的關聯方式。問題在于，這種理解過去是、現在仍然是代數拓撲學中最大的挑戰之一。拉瓦內爾曾表示，他不認為在他孫輩中，有生之年能夠實現這一目標。

徐宙利開始研究Kervaire不變量問題時，人們對球面穩定同倫群的嚴格理解僅限于40維左右。“彼得·梅建議說，‘你的問題是126維的。其中四分之三的維數在90多維左右。如果你能將知識范圍擴大一倍，然后再尋找捷徑，或許就能達到126維了。’”

在接下來的十年左右時間里，徐宙利決定采用這種方法，并得到了韋恩州立大學的丹·伊薩克森（Dan Isakson，徐宙利的第三位博士生導師）的關鍵指導。上海復旦大學的林偉南和王國禎兩位合作者在研究的不同階段都有參與其中，提供了用于對球面穩定同倫群進行復雜計算的精密計算機程序。

遺憾的是，盡管付出了巨大的努力，捷徑終究未能走通。然而徐宙利、林偉南和王國禎并沒有止步，他們毅然決然地向高維空間發起了沖擊，并在125維空間進行著最后的艱苦努力。最終，在2024年，他們證明了：126維空間確實存在Kervaire不變量為1的框架流形——這些流形無法通過手術轉化為球面。

這最終解決了所有維度的Kervaire不變量問題：Kervaire不變量為1的框架流形僅存在于 2、6、14、30、62和126維空間中。因此，這類特殊的流形非常罕見。在所有其他維度中，所有框架流形的Kervaire不變量均為0。

陷入困境——但并非孤身一人

如果說Kervaire不變量問題證明了什么，那就是如今的數學是一個高度協作的學科。希爾和徐宙利都提到他們經常與合作者會面、互訪和進行視頻通話，也強調了會議的重要性，例如他們目前正在牛頓數學科學研究所參與研究項目。“我非常享受這個項目，”徐宙利說，“事實上，我曾在2018年或2019年參加過這里的一個研討會。那次訪問對我來說收獲非常大，這次也有很多機會與很多人交流，交換想法，探討未來的研究方向。”

希爾對此表示贊同。“我與一些人開始了新的合作，其中一些人在此項目之前我從未見過面，”他說。“大多數資深人士我都認識，但很多早期研究人員我之前都沒有機會見面。能夠有機會與他們交流，推進我正在思考的問題，并拓展到其他領域，真是太好了。”事實上，該領域另一個重大難題——望遠鏡猜想——的證明已于2023年在牛頓數學科學研究所組織的另一次會議上公布。

“Kervaire不變量問題還揭示了數學的另一面：它有時既深奧得令人望而生畏，而且還帶有那么一點兒磨人的挫敗感。在采訪中，徐宙利生動地講述了他數次陷入僵局的經歷，有時一困就是好幾年。但這些并不是讓他放棄嘗試的借口，而是提醒我們要慎重選擇研究課題。‘你應該去做那些讓你發自內心感興趣的事。這樣你才會知道，當你在未來的某一天終于解開難題時，那種興奮感將是無與倫比的。’”

本文經授權轉載自微信公眾號“中科院物理所”。

原文鏈接：Hunting strange shapes in higher dimensions

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https://plus.maths.org/hunting-strange-shapes-higher-dimensions

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