推理機器時代的人類數學——菲爾茲獎得主阿克沙伊?文卡特什（Akshay Venkatesh）

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菲爾茲獎得主阿克沙伊?文卡特什（Akshay Venkatesh）對AI時代的數學重塑的哲學思考。

作者：阿克沙伊?文卡特什

（Akshay Venkatesh，普林斯頓高等研究院，2025-12-31）

即將發表于2026年《M×Φ 數學與哲學年鑒》第1期

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-4-17

摘要

本文將對當代數學實踐的反思與自動化如何重塑數學的討論相結合。我推測數學的概念語言可能經歷劇烈重構，并以歷史案例為參照展開分析。

關鍵詞：自動推理；數學概念；同構異態（cryptomorphism）；數學心理學；數學現代主義

1. 引言

機械推理不僅會改變我們做數學的方式，更會改變數學本身是什么；這一問題必須由數學從業者與社會共同重新探討。為審視這一問題，我更傾向于聚焦人而非技術，嘗試從我們思考數學的方式而非其符號外殼去理解數學。

秉持這一寬泛理念，我將討論與數學自動化相關的若干主題：

• 第 2 節：機械化與形式化帶來的若干爭議；

• 第 3 節：推理機器可能如何改變數學的概念語言；

• 第 4 節：概念語言過往變遷的若干案例；

• 第 5 節：關于數學與社會關系的若干思考。

本文是我在哈佛大學首場阿爾福斯（Ahlfors）講座《推理機器時代的（重新）想象數學》的擴展文稿，部分術語適配當時聽眾：文中 “數學” 僅指純數學，“我們” 指代該領域的研究者與學生。

2. 機器中的幽靈

要思考我們的未來，就必須理解我們為何要做當下所做之事；為此，我們需要更深入地鉆研自身的歷史。

19世紀末至20世紀初，數學界彌漫著普遍的不安情緒（關于這一氛圍的討論，參見格雷的文獻 [27]）。非歐幾何的發現、我們的直覺無法預判各類病態函數、無窮集合引發的悖論 —— 這一切都表明，數學這門學科或許出現了嚴重問題。

學界對這些擔憂的回應，即所謂的基礎危機，塑造了現代數學。可以說，數學經歷了一次 “焦慮發作”，并試圖通過自我機械化來做出回應。

2.1 形式主義與基礎危機

希爾伯特1899年的《幾何基礎》對歐氏幾何進行公理化，極大提升了形式公理化方法在基礎與元數學問題研究中的地位。布盧門撒爾（Blumenthal）轉述希爾伯特（Hilbert）的一句俏皮話：

我們必須能夠用桌子、椅子、啤酒杯來替代點、直線、平面。

這句話道出了其核心精神（希爾伯特本人對此的觀點是微妙而復雜的。更深入的討論參見文獻 [16]。），且更大程度上契合了它所啟發的后續工作（見 2.2 節）。

換言之，若我們對幾何的模糊思考導致謬誤，便可通過切斷數學與危險幾何直覺的關聯來糾正方向。實踐中，這種切斷通過強制外化思維過程實現（克拉克（Clark）與錢伯斯（Chambers）提出的延展心智論題[12]，為外化這一概念提供了頗具啟發性的哲學視角。）：用可按規則操作的書寫符號替代直觀對象。如此實現的數學具有機械屬性；龐加萊（Poincaré）在對希爾伯特著作的評論 [42,44] 中已設想將公理輸入 “邏輯機器”—— 早在1900年，執行數學推理的自動機構想便已存在。

龐加萊這里提到的是杰文斯（S. Jevons）的 “邏輯鋼琴”—— 這是一臺在1870年代制造的、用于解決邏輯難題的機器；巴貝奇（Babbage）則在1820年代造出了他的差分機；而17世紀寫成的《格列佛游記》，甚至早已構想過這樣一種機器：“哪怕最無知的人，只要支付合理的費用，再付出一點點體力勞動，就能在無需天賦、無需學識的情況下，寫出哲學、詩歌、政治、法律、數學和神學方面的著作……”

但這其中存在深刻張力：即便我們變得更像機器，這臺機器仍被人類創造者相互沖突的追求所縈繞。為說明這一點，我將分析對希爾伯特著作的兩種回應。

2.2 公設分析

一個略顯尷尬的事實是：我其實并不確切知道群、環、理想、域等概念的公理定義（該要求左逆、右逆，還是二者兼具？是否必須相同？）。授課時本該給出準確定義，我通常的做法是構想若干正例與反例，不斷補充性質，直至邊界清晰。每次結果略有不同 —— 同一結構本就存在多種公理化方式。

希爾伯特的著作在美國引發了對這一問題的系統性研究，即范?弗利克（Van Vleck）所描述的 “對幾何、代數、算術乃至力學的公理系統展開系統性探究”，常被稱作公設分析。例如：

• 1902年，愛德華?亨廷頓（Edward Huntington，現代數學家或許對這個名字并不熟悉。他畢生擔任哈佛大學工程學教授，還曾出任MAA美國數學協會主席。他的一項數學貢獻影響深遠：美國國會當前使用的政治席位分配方案，正是基于他與約瑟夫?希爾（Joseph Hill）共同設計的一套體系。）

• 給出群的三條公理表述，不久又補充四條公理版本；

• 稍后，伊萊亞金?穆爾（E liakam Moore ）給出 “從群論角度非常理想” 的五條公理版本；

• 1905年，倫納德?迪克森（ Leonard Dickson ）給出另一版四條公理。

每位作者都嚴謹驗證每條公理獨立于其余公理。此類研究還拓展至多種數學結構，參與數學家包括西奧多?希爾德布蘭特（Theodor Hildebrandt）、奧斯瓦爾德?維布倫（Oswald Veblen）、R.L. 穆爾（R. L. Moore），以及后續的喬治?伯克霍夫（George Birkhof）、諾伯特?維納（Norbert Wiener）等知名學者 [5,46]。

公設分析的表面特征常被融入數學潛意識。例如，亨廷頓在布爾代數公理化中使用帶圈符號⊕、?、⊙替代常規 +、<、?，他解釋道：

圈形符號足夠陌生，提醒我們它們是未定義符號，除公設明確陳述外無其他性質；同時圈內的 +、?、 <能讓我們以最小心理成本采用最有用的解釋。[32, p.292]< pan>

這種雙重用途符號反映了本質張力：導致我們犯錯的思維過程，同樣讓我們高效思考；相應地，數學家始終在直觀世界與形式世界之間的奇特中間地帶探索。

亨廷頓面向非數學讀者對公設分析的描述 [33] 極具啟發性。他清晰區分了公設的邊界與人類因素的介入：

我剛才提到的定理18便是例證。在我們所討論的論域中，類 K 內的基本符號僅有 X 和′，但該定理包含新符號 ∨，通過定義引入系統：a∨b=(a′b′)′。問題隨即出現：為何有人想到引入這一定義？為何這一基本符號組合 (a′b′)′被視為極具特殊意義，值得單獨命名？數學本身無法給出答案，這一問題本屬于哲學范疇 —— 歸根結底，任何抽象演繹理論的構建都是人類主動行為的產物。

這種人類因素不僅介入定義，也介入問題：

例如定理18，一旦提出 “a (b∨c) 等于什么”，公設只允許唯一答案 “ab∨ac”。但公設并未要求我們必須提出這個問題。問題的源頭必須在比公設更深的領域尋找，即人類意志的領域。

同樣介入公設本身的選擇：

作為任何系統基礎的公設，構成該系統在其論域內的定義；選擇某一定義而非另一定義作為討論對象，同樣是人類意志的體現。

換言之，外化并未消除人類因素，只是將其隱于無形；按亨廷頓的說法，對人類因素的研究 “本屬于哲學”。

現代（即基礎危機之后的）數學界，數學家關于這種人類維度的討論大多私下進行、不見出版物。但這類討論從未消失，并在緊張時期更為凸顯 （近期的例子包括：《美國數學會公報》第50期專刊，該期專門探討機器數學相關問題；以及瑟斯頓（Thurston）的論文 [48]，這篇文章是針對物理啟發式數學帶來的若干挑戰而撰寫的。）；基礎危機也不例外。

2.3 數學的心理學基礎

前文已提及龐加萊對希爾伯特的評論及其對邏輯機器的援引。龐加萊認可希爾伯特成就的意義，但同時表達了與亨廷頓高度相似的觀點：

給定一列命題，他發現所有命題均可從第一個邏輯推出。但他并不關心第一個命題的基礎及其心理起源。[44, p.22]

我們可以想象用椅子替代點，但真這么做會顯得荒謬 —— 如此表述的幾何根本無法理解。點、直線、平面的語言與桌子、椅子、啤酒杯的語言在形式上等價，但心理上絕不等價。

龐加萊不認為應摒棄心理學考量，這并非個例。菲利克斯?克萊因（Felix Klein）1912年開設了關于數學思維心理學基礎的完整研討班；L.E.J. 布勞威爾（L. E. J. Brouwer，他亦創造 “形式主義” 一詞）的直覺主義，深刻關注數學在人類經驗與判斷中的起源：

…… 形式主義者希望將心理學家的任務留給從諸多可自洽發展的符號語言中篩選 “真正數學” 語言的工作…… 解釋我們為何排斥那些允許命題既真又假的所謂矛盾系統，這并非數學家的任務，而是心理學家的任務。[11, pp.56,58]

恩里克斯（Enriques）在1912年ICM國際數學家大會演講中，將基礎危機定位為數學原理批判史的最新階段。他寫道：

若從歷史視角審視科學與批判得出這一結論，邏輯數學實用主義遠非開啟一個近乎隨心所欲、無限增殖奇幻構造的時代，反而讓研究對自身目標有了更高自覺；另一方面，通過純化邏輯，它證明了邏輯的局限性，以及深化其他心理要素的必要性 —— 正是這些要素賦予數學構造意義與價值。[24, 第 IX 節]

形式語言與數學實踐之間的錯位（例如我幾乎不確切知道任何研究對象的精確公理），一直是數學家的不安來源；對替代基礎的探索延續至今。在我看來，這種探索反映了我們對結構與人類主觀經驗相匹配的形式語言的渴望。例如，我們可能希望一種語言，其中符號 Q 在論證中的出現次數能忠實反映人類理解該論證的難度。在我看來，創造一種能真正追蹤數學思維的形式語言，本質上就是構建我們大腦部分功能的形式模型；理解這種語言等同于理解我們自身的思維過程。

2.4 公設分析的第二次生命

以亨廷頓工作為代表的公設分析（針對特定結構研究特定公理系統）在1930年左右逐漸式微。另一方面，更寬泛的公理結構理論被數學主流接納，例如模型論與邏輯學；相關思想在計算機科學的知識基礎中扮演關鍵角色。因此，二十年后電子計算機的出現讓該領域復興并延續至今（事實上，公設分析與當今數學形式化的趨勢之間，或許存在許多值得比較的有趣之處。例如，可參見阿維加德（Avigad）關于 “形式轉向” 的綜述 [3]，以及麥克貝斯（Macbeth）對 “傳統數學” 與 “形式化數學” 之間風格差異的討論 [38]。感謝亞歷克斯?康托羅維奇（Alex Kontorovich）就此問題帶來的富有啟發性的討論，以及為我指引的相關文獻。）—— 按其設計初衷，公設分析的問題本就比人類更適配機器。

事實上，若公設分析可由機器完成，為何不將推理規則（允許我們從一行推導至下一行的方法）也適配機器？約翰?羅賓遜（John Robinson）1965年的重要論文提出這一觀點：

傳統上，出于實用與心理原因，演繹單步推理要求足夠簡單，大體上可被人類單次智力活動判定為正確。…… 當執行推理原則的主體是現代計算機器時，對推理原則復雜度的傳統限制便不再適用。[45, p.23]

羅賓遜與美國阿貢（Argonne）國家實驗室數十年的定理證明軟件項目密切相關，他的 “面向機器的邏輯” 對該項目發展至關重要——自動定理證明先驅、該項目長期負責人拉里?沃斯（Larry Wos）在一篇未公開專欄中寫道：

“…… 阿貢國家實驗室應用數學系主任威廉?F?米勒（William F. Miller）邀請了約翰?艾倫?羅賓遜（John Alan Robinson）。米勒將羅賓遜介紹給了我和丹?卡森（Dan Carson）。這次結緣對后來被稱為自動推理的領域產生了難以估量的影響。 羅賓遜在訪問阿貢實驗室期間，提出了他新的推理規則，他稱之為二元歸結法。二元歸結推理規則的提出，永遠改變了自動推理領域的歷史走向。”

但這一轉變付出了代價。阿貢實驗室開發的軟件包 OTTER 被麥庫恩（McCune）用于證明如下命題 [41, 定理 1]：

滿足等式 x?(y?(((z?z?1)?(u?y)?1)?x))?1 = u （1）的二元運算 x?y 與一元運算 x?x?1， 即為群結構的乘法與逆運算。

這是群的單公理定義！——這并非首個單公理定義；希格曼（Higman）與諾伊曼（Neumann）早在1952年就在沒有計算機的情況下，給出了群所對應的二元運算 x,y ? xy?1 的單公理刻畫。完整列表可參見麥丘恩（McCune）的綜述文獻 [41]。以下是該等式約三十行機械證明的前三行 —— 你能看出每一步如何推導到下一步嗎？

x · (y · (((z · z?1) · (u.y)?1) · x))?1 = u ? x·((((y·y?1)·(z·u)?1)·(v·v?1))·(z· x))?1 = u ?(x·((y·(z·z?1))·(u·x))?1)=(((v·v?1)·(y·u)?1)·(w·w?1)) ?...

我絕不可能在課程中使用這種定義。同類案例比比皆是。這類證明可拆分為更小、更易理解的步驟，但會引發另一個問題：長度失控。

由此可見，機械證明并未摒棄心理因素。若機器要提供我們能理解、感興趣的證明，它必然（無論通過設計還是其他方式）反映那些如恩里克斯所說 “賦予數學意義與價值” 的心理層面。

3. 數學的概念基礎

正如我們所見，數學的形式化描述 —— 某種程度上正是出于設計目的 ——極難解讀。我們反而用一種介于自然語言與形式語言之間的表述來講述數學，它的詞匯由一系列專門術語構成，我將其非正式地統稱為概念：

光滑函數、微分、模算術、群、向量空間、希爾伯特空間、流形、度量、李群、同倫、索伯列夫空間、非黎曼超方（non-Riemannian hypersquare）等等。

概念兼具交流功能與認知功能。它們是記錄和表達我們思維過程的精簡方式，同時也是思維過程本身的一部分。就像亨廷頓所說的 “符號組合” 一樣，什么是概念、什么不是概念，很大程度上是人類的選擇。這些選擇在未來會如何改變？

3.1 概念的概念

歸根結底，我討論概念的目的是探究數學的心理表征。如2.3節所述，這一問題極為復雜，或許無法以人類可理解的方式有效呈現；相應地，我不得不對 “概念” 的精確含義保持尷尬的模糊 —— 以案例而非定義展開，不嚴格區分微分（過程）、模算術（理論）、群（公理化數學實體）等。

盡管如此，幾句非字面、非形式的導向性說明或有助于澄清我的意圖。我們可將概念想象為組織數學思想的樹狀節點（布爾巴基在數學理論組織與關聯中提出過類似圖景 [10]）。這棵樹的最上層位于自然語言世界，下層概念通過上層概念定義，僅被越來越小的群體理解。

例如，模 m 整數是 “公差為 m 的無窮等差數列”；希爾伯特空間是 “實 / 復向量空間 V 及其上的雙線性函數滿足……”。此處 “等差數列”“向量空間”“雙線性函數” 是更上層、更通用的概念，至少 “等差數列” 可被小學生理解。

我想強調的是：這棵概念樹與自然語言一樣，是活的有機體，隨時代、環境與文化自適應演變。

3.2 人類與機器對概念的不同使用

近期，DeepMind 的 AlphaProof 軟件 [31] 給出如下問題的解答：

求所有正整數 a,b，使得對充分大的 n，a?+b 與 b?+a 的最大公約數與 n 無關。

答案僅可能是 a=b=1。我將對比（不展開細節）我與 AlphaProof 的解題思路。

看到這類問題，我的專業訓練讓我本能采用數論通用策略：將整數算術替換為模素數算術。對滿足條件的 a,b，固定素數 p，考察模 p 方程：

a? ≡ ?b 且 b? ≡ ?a （mod p） （2）

若 n 滿足該方程，則 p 整除 gcd (a?+b, b?+a)。因此，若 a,b 滿足要求，上述方程要么對所有充分大的 n 成立，要么對所有充分大的 n 不成立。

模 p 算術的優勢在于可應用常規高中代數工具；本例中，我通過取對數與代數運算分析方程，發現當 ab ≡ ?1（mod p）時會出現矛盾（即 p 整除 ab+1）。

要理解這一情形為何重要，我們用 α、β、π 分別表示 a、b、?1 的離散對數。原方程可改寫為： nα = β + π nβ = α + π 將第一個方程乘以 β，第二個方程乘以 α，可得：β2 + πβ = α2 + πα 也就是說，二次函數 x2 + πx 在 x=α 和 x=β 處取值相等。根據二次函數圖像的對稱性，這一等式成立的充分條件是：α + β = ?π 即等價于：ab ≡ ?1 (mod p)

對奇素數 p，這一分析快速導出矛盾，故 ab+1 必為 2 的冪，再通過模 4 論證排除這一可能。

AlphaProof 呢？它直接猜測考慮模 ab+1 算術是有用的。沒人知道原因 —— 或許它嘗試了多種模約簡，尋找最簡化問題的方式。我不明白，將人類思維隱喻套用在機器上或許也無意義。

對素數乘積 pqr… 取模，本質等價于分別對 p,q,r… 取模；因此，模 ab+1 運算相當于同時對 ab+1 的所有素因子取模。從某種意義上說，AlphaProof 將我并行處理的論證（對每個 p 單獨分析）整合為一體。對訓練有素的數論學家而言，兩種視角不難轉換，但二者之間仍存在足夠大的心理距離，值得深入探究。

3.3 概念與思維經濟性

面對新問題，我已形成本能反應：將整數算術替換為模素數 p 算術，即數論術語中的 “模 p 約簡”。這一過程心理高效，節省時間與記憶空間，可適用于大量數論問題，無需記憶多種領域專用技巧；模素數算術還能復用小學階段熟悉的智力結構（加減乘除、對數）與相關直覺。

AlphaProof 在心理空間與時間上的限制與我完全不同，模素數約簡未必適配其限制。它確實使用了模算術，但通常針對合數模（即 ab+1）。合數模算術保留部分常規算術（加減乘），但丟失另一部分（除法、對數）

事實上，在我最初的論證中，恰恰在這一點上犯了錯誤：證明過程需要同時對 p 取模 和對 p?1 取模，而我在腦中混淆了二者，在不合法的情況下強行使用了模 p?1 除法。 所以，正如我們之前討論過的其他例子一樣：讓模算術變得直觀易懂的特性，也正是讓它變得危險的特性。我直到為這篇文章動筆時，才發現這個錯誤。

—— 這對我造成一定心理壓力，而 AlphaProof 的類似壓力仍待研究。

由此可見，模素數 p 算術（即 p 元有限域）之所以成為數學宇宙的突出特征，正是因為它適配人類心理。高斯早已注意到模算術對現有心理結構的有效類比，他引入≡符號作為 = 符號的變體：

我們采用這一符號，是因為相等與同余之間存在類比。出于同樣原因，勒讓德在我們常引用的論著中對相等與同余使用同一符號。為避免歧義，我們做了區分。[25, §1]

對比亨廷頓的符號：一個額外的圈、一道橫線，便分隔了形式與直觀。

我再舉一例強調類比在概念中的作用。分析中常用函數希爾伯特空間（如 L2(R)）或更特殊的索伯列夫空間（Sobolev spaces），常見如下論證：

若 ||f?g||_{L2} ≤1 且 ||g?h||_{L2} ≤1， 則 ||f?h||_{L2} ≤2； 若取等號，則 g=(f+h)/2。

當然，你可以寫出所有定義、硬算不等式完成證明，難度不大。但希爾伯特空間將 “接近” 概念打包，無需每次重寫定義，且幾乎完美匹配我們對空間中點的幾何直覺，讓最終結論顯而易見，而非與積分苦戰。

由此可見，我們的心理、空間直覺，被編碼進承載復雜數學的概念中 —— 即便表面看似無幾何屬性的數學（如上述不等式）。

3.4 概念與交流

概念不僅對思考不可或缺，對分享思想也至關重要 —— 瓦爾德豪森（Waldhausen）曾精彩闡述：

論文的第一部分是一切基礎，或許因全程使用抽象語言而略顯嚇人。這很遺憾，但別無選擇。抽象語言的目的并非追求極致一般性，而是簡化證明，甚至讓某些證明得以被理解。建議讀者做個測試：取定理 2.2.1（最極端案例），將完整證明翻譯成不使用抽象語言的版本，再嘗試傳達給他人。[52, p.318]

數學交流需要構建格外穩固的共享心理圖像（這甚至可被視為數學的定義性特征，見5.1節）。適配交流的概念未必適配思考，反之亦然；對某類聽眾有效的概念，對另一類可能失效。

例如，我近期論文[7]的核心概念之一是 “超球面簇”（hyperspherical variety），通過五條公理引入。精確定義在此無關緊要，關鍵是：在提出公理前，我們已完成該理論的大部分內容。替代公理的是大量 “超球面簇” 案例、可生成新案例的操作集合、以及任何案例應滿足的性質列表 —— 這對理論構建已足夠有效。

一個概念在非形式化的狀態下長期存在，這絕非個例。

在梳理有限維向量空間的歷史時，格雷（Gray）寫道：

向量空間這個概念，很可能只是眾多例子中的一個 —— 數學家們早已使用多年，卻渾然不覺，或者說，并不需要知道它的存在。我們可以隨手舉出其他例子：半群在積分方程理論中早已被長期使用，甚至群也是如此。

對我們的思考而言，這些案例、操作與性質的混合體構成可用概念。我們本可將其轉化為形式定義，但很難傳達給不共享數學背景的外人。抽象的五條公理表述更不直觀，但更適配向匿名讀者交流。

類似評論適用于2.2節的討論。我對 “群” 的認知是案例、性質與圖像的混合體，而非公理。盡管這種混合體是高效思考工具，卻無法清晰交流；而公理可在幾分鐘內向數學背景有限的本科生完整解釋。公理如同孢子：緊湊、自洽、完整，卻無生命，僅通過聽眾的心理努力被激活。

相比之下，對話的往復能讓說話者與聽眾達成共享心理圖像，即便單獨表述相當模糊。這有時允許使用更貼近思維過程的概念。在這一點及其他方面，數學的口頭文化與書面文化差異巨大，值得更細致研究。

3.5 概念與機器

斯蒂芬妮?迪克（Stephanie Dick）研究過數學家與 AURA（2.4節提及的OTTER前身）的交互：

在某種意義上，阿貢團隊用 AURA 完成傳統數學家面對新問題時常做的初步 “草稿工作”：嘗試多種情形、構造案例、尋找模式或有用類比，以指導證明思路。然而，將這部分工作外包給 AURA，從根本上改變了人類獲得的洞見類型 —— 所得洞見不再關于當前數學問題，而是關于計算機程序的行為。[22, p.502]

與機器交互改變了我們的思考與行為。未來，它將如何影響我們對概念的選擇？

概念將一組數學思想打包，讓我們能以單一單元吸收或傳遞，常復用現有直覺與心理能力，從而讓復雜論證適配我們有限的大腦，降低認知負荷；用馬赫（Mach）的老式說法，即實現思維經濟性。

但機器（即便不算特別智能）也能幫我們實現思維經濟性。機器與概念因此競爭相似功能，一方的可用性會改變另一方的使用方式。當機器能執行數論或分析中的常規證明時，模素數約簡、將幾何直覺遷移到泛函分析的需求可能減弱。

值得注意的是，數學家已用 “工具 / 機制（machinery）” 描述某類概念；這類概念常組織一系列冗長但常規的計算，例如，弗蘭克?亞當斯（Frank Adams）在1971年的著作中，于題為“工具與機制（Machinery）” 的章節開頭給出了如下定義 [2，第2章]：

本章的目的是更詳細地考察1.7節中提到的研究方案……要完整實施這一方案所需要的定義、定理與證明整套體系，需要投入巨大的智力成本，這對不直接從事相關研究的人來說可能望而生畏。不少讀者或許還記得自己當初面對譜序列、層論，或是如今他們最常用的工具時，也曾有過同樣的感受。我們該慶幸自己不是研究代數幾何的。拓撲學家通常把這套體系稱作“工具 / 機制（machinery）”。

而使用時無需了解全部內部細節（馬凱Marquis [39] 將這類工具與其他科學中的技術使用類比，這一對比值得進一步研究）。

將這類計算外包給機器，不僅會影響這套 “機制”，還會影響與之交互的各類次級概念，以此類推。以我個人為例，論文 [1] 的附錄構建了精細的概念框架，只為判斷單個符號的正負；我喜歡這個框架，但如果機器能完成，我們便無需付出這番努力。

概念仍會幫助我們彼此交流，但未來，它們還會幫助我們與機器交流—— 這必將改變我們對概念的價值判斷。正如我們花費時間設計提示詞、優化搜索查詢以對接機械過程，我們也可期待概念被重新設計與優化。

在我看來，機械推理很可能觸發數學語言與概念系統的徹底重構，以至于當代數學家與不久的未來數學家可能幾乎無法相互理解，至少需要付出巨大努力。這類重構在歷史上已發生多次，下文將展開討論。

4. 同構異態（Cryptomorphism）

我在上一節中提出，機器可能會導致我們的數學概念體系被徹底改寫。這樣的例子其實有很多：就像同一個故事可以通過不同角色的視角講出完全不同的味道，對同一段數學的兩種描述可以在形式上等價，但在心理認知上截然不同。這種現象有時被稱為同構異態（cryptomorphism），這個詞最初由伯克霍夫（Birkhoff）提出 [6, VI §11]，用來描述我們在2.2節已經提到的現象：同一個數學結構可以有多種公理化方式。

伯克霍夫致力于對代數結構進行分類。他將代數結構公理化為由集合 S 與一族運算 f?:S?? → S（其中 n? 為不同整數）組成的系統。那么，兩個這樣的結構何時才算 “相同”？

雖然存在一個直觀的等價概念，但它并不完全令人滿意。例如，群可以通過兩種運算公理化：二元運算 x,y ? xy?1 與一元運算 x ? x?1；也可以僅用單一運算x,y ? xy?1 來公理化；還可以用許多其他方式。

正如伯克霍夫所言：

一個更為棘手的復雜性在于：同一個抽象代數結構，往往可以用多種彼此非多項式同構的方式來定義。

伯克霍夫接著給出定義：非正式地說，如果每個 f 都能用 g 表示，且每個 g 也能用 f 表示，那么結構 (S,f?,…,f?) 與 (S,g?,…,g?) 就是同構異態（cryptomorphic）的。

盡管伯克霍夫給出了形式定義，但我希望更靈活地理解同構異態：它指兩套都成立的數學命題體系之間可以相互翻譯，但它們在心智中的表征完全不同。作為區分標準，我們可以找這樣的問題：它能用兩種 “語言” 中的任意一種表述，但不同語言會引導出完全不同的解法；或者更通俗地說：在一種語言里看起來很自然的問題，翻譯成另一種語言后是否依然自然。

有些同構異態可以用數學語言精確刻畫 —— 比如射影幾何中的對偶性，或者任何有意義的范疇等價。但我更關心的是難以用簡單數學公式刻畫的同構異態：比如有些命題無法翻譯，有些命題則有多種翻譯。

在展示來自數學研究的例子之前，我們先用一個更直觀、更視覺化的例子來理解這個概念。看下面這張圖：

你可以把它理解成：(i)堆疊的立方體；或者(ii)用12個菱形拼成的正六邊形鋪砌（即密鋪、鑲嵌，菱形有三種朝向，用陰影區分）。

我們不難在 “鋪砌” 和 “立方體堆疊” 這兩類數學命題之間建立翻譯關系。但顯而易見的是，兩者在心智中的表征截然不同，會引導出完全不同的自然問題和解題思路。由于這種轉換非常具有沖擊力，這個例子在數學文獻中被廣泛研究，例如 [17, 49]。

本節我會給出四個例子。它們并非要直接說明機器如何做數學，而是為了表明：未來數學家之間彼此無法理解，是完全可能發生的事，并把 “同構異態” 提升為數學哲學中一個值得關注的重要話題。

本節比其他章節需要更多的數學背景，但我希望即使沒有專業基礎，也能抓住核心意思。

4.1 20世紀代數學的重構

20世紀代數學及相鄰代數幾何領域，連續重構成為常態。韋伯（Weber）與戈爾丹（Gordan）的視角強調代數學的算法與方程層面 —— 韋伯甚至將橢圓函數理論納入《代數學教程》Lehrbuchder Algebra，我們將在4.2節回到這一點（關于《代數學教程》中所呈現的代數學的更多討論，可參見科里（Corry）的文獻 [15]。）。

這一代數觀被諾特（Noether）的結構視角取代，隨后在布爾巴基（Bourbaki）、艾倫伯格–麥克萊恩（Eilenberg–MacLane）、格羅滕迪克（Grothendieck）的相繼影響下經歷進一步重構。現代，高階范疇語言再次重塑該領域的部分內容。

如今我們或許已難以體會這些變革帶來的迷茫，以及它們在多大程度上是對過往內容的重寫。前人的幾段引文可作說明：

安德烈?韋伊（André Weil）1944年在《代數幾何基礎》序言中寫道 [54]：

當然，每位數學家都有權使用自己的語言 —— 哪怕冒著不被理解的風險；我們同時代人對這一權利的行使，幾乎讓人擔心數學會重蹈巴別塔的覆轍。

結合上下文來看，韋伊的這段引文十分耐人尋味：畢竟，他的著作本身就是對代數幾何語言的一次重新梳理。對此，奧斯卡?扎里斯基（Oscar Zariski） 評價道：

“作者以歷史連續性為依據，為自己的研究方法辯護…… 但我們的前輩們即便能看到書中對原有理論的完善與補全，也幾乎不可能從韋伊的著作里，認出那個他們所熟知的理論體系。”

馬塔克（Mattuck）1957年評謝瓦萊（Chevalley）的代數學著作時更為尖銳：

老一輩以直觀方式學會這些思想，使其適配思考，卻以嚴謹思維之名，不加任何解釋地將這套構造強加給年輕一代，這實在不公平……[40, p.416]

芒福德（Mumford，其導師扎里斯基Zariski是格羅滕迪克前一代學者）回憶另一輪轉型：

令人驚嘆的是，各類定理在每一代都以不同語言重新表述。扎里斯基與塞爾（Serre）實際上在做同一件事，但使用的語言完全不同。[43, p.103]

這些變革發生很久后，翻譯需求依然存在；我的斯坦福同事布萊恩?康拉德（Brian Conrad）有力地指出：

盡管韋伊對代數幾何發展作用重大，但沒人應再讀韋伊的《代數幾何基礎》；EGA 必須成為該學科的充分邏輯起點。因此，若某重要、有趣或有用定理的已發表證明本質上使用格羅滕迪克前方法，導致后代（或我）無法理解，而我需要理解該定理為何正確并找出概型論證明，我會嘗試整理成文。[13]

4.2 模函數

如前所述，韋伯《代數學教程》第三卷 [53] 專門討論橢圓函數理論，與代數主題有豐富關聯：一般五次方程無法用根式求解，但可用橢圓函數求解。

橢圓模函數（elliptic modular function）可定義為洛朗級數（Laurent series）：

∑_{m=m?}^∞ a? q? （0<|q|<1 收斂） （3）

在坐標 q=e^{2πiz} 下，關于 z??1/z 對稱。事實上，所有此類函數均可表示為一個特別重要的例子 j 的有理函數，j 的級數展開為：

j = q?1 + 744 + 196884 q + …

j 是現代大多數表述的標準對象，但韋伯對其重視程度低得驚人。相反，他頻繁使用一套晦澀的 “2 級” 函數 f、f?、f?，由 j 在有限歧義下確定 ——f?、?f??、?f??是方程

((x3?16)/x)3=j （4）

的根。

這迫使一系列恒等式成立，例如：

f?f?f?=√2，f?=f??+f?? （5）

每個橢圓模函數均可由 f 表示，但 f 本身并非嚴格意義上的模函數，其變換規律更復雜。因此，j 為橢圓模函數理論提供了更優雅的基礎。那韋伯為何使用更繁瑣、冗余的基？

該理論中的眾多代數奇跡之一是：若 Φ 是任意橢圓模函數且系數 a?為有理數，則 Φ 在任意二次無理數 z 處取代數值（即 z=a+i√b，a,b 為有理數）。這是復數乘法理論，19世紀數學的瑰寶，或許也是我進入數論的原因。

這一結論對 f 同樣成立，且f 的取值遠簡單于 j。例如，韋伯給出表格：f 在√?11、√?19、√?43、√?67、√?163 處的值分別為多項式

x3?2x2+2x?2, x3?2x?2, x3?2x2?2, x3?2x2?2x?2, x3?6x2+4x?2 （6）

的根；而 j 在√?11 處的值是一個復雜方程

x3 ?1122662608x2 +270413882112x ?653249011576832 = 0

的根，且情況愈發糟糕。

對現代計算機而言，這一區別意義不大；但對韋伯（大量手工計算）來說，f 相較于 j 的優勢顯而易見。

從 j 表述到 f 表述的翻譯看似微小，不配稱作同構異態，但它在數論發展中扮演關鍵角色。1952年，高中教師黑格納（Kurt Heegner）解決高斯的類數 1 問題（即尋找所有 j(z) 為有理數的二次無理數 z）。黑格納充分利用韋伯的函數： f (z)2 滿足簡單三次方程與由 (4) 導出的第二個方程之間的張力。

黑格納（Heegner）指出，對于特定的整數 A、B，函數 f(z)2 滿足如下形式的三次方程：y3+2Ay2+2By=2

將其與式 (4) 對比后，他推導出等式：(B?2A2)2=2A(A3+1)

該方程關于 (A,B) 的解僅有以下六組：

(0,0), (1,0), (?1,2), (2,2), (1,4), (2,14)

至少在我看來，這一方法的精神與韋伯高度一致：不聚焦單一不變量 j，而是研究更豐富的 f 集合，并利用它們之間的相互關系。現代 “黑格納點” 理論可視為這一視角的延伸 [8, §3, §4]。

黑格納的證明在他生前被數學界忽視，直到其他證明出現后，其論證才被認定基本有效。韋伯著作的不精確性、黑格納的圈外人身份，都導致其證明被駁回；但或許另一個原因是：韋伯的直白風格已過時。然而，正是韋伯的直白風格讓他使用 f，而 f 之間的關系被黑格納高效利用。

4.3 純線性代數與應用線性代數

我曾在陽光明媚的斯坦福校園與同事杰克?波爾森（Jack Poulson，數值線性代數專家）有過如下對話：

“我說，我不喜歡你們純數學家教特征值的方式。” “怎么了？” “通過求特征多項式根來求特征值，這很荒謬。給我一個多項式讓我求根，我會構造以該多項式為特征多項式的矩陣，再用 QR 算法！”

杰克的評論體現了不同群體對線性代數的不同路徑。QR 算法得名于矩陣分解：將一般方陣 A 分解為

A=QR，Q 正交，R 上三角。 （7）

這類矩陣分解為諸多線性代數問題提供工具。

矩陣分解并非我線性代數教育的一部分（至少無系統講解）；總體而言，純數學家對其重視程度較低。然而，大多數標準矩陣分解等價于我在線性代數中以其他形式遇到的現象或定理。例如，我將 QR 分解視為格拉姆–施密特（Gram–Schmidt）正交化定理的一部分：

給定實希爾伯特空間 V 的基 e?,…,e?，存在標準正交基 q?,…,q?，使得對每個 j，e?,…,e?與 q?,…,q?張成相同空間（特別地，存在 V 的一個正交基）。

這等價于 QR 分解：取 V=R?，將 e?,…,e?作為矩陣 A 的列，q?,…,q?作為矩陣 Q 的列，則 A=QR，R 為上三角矩陣。

經驗豐富后，QR 分解與格拉姆–施密特正交化之間的翻譯耗時不長，但二者側重點不同，引導不同思路。QR 算法本身便是例證：迭代過程 A=QR→A′=RQ，在一般性假設下，A 收斂至上三角形式，對角線元素即為 A 的特征值。

這是數值分析的絕對基礎事實，提供了數值穩定的特征值計算方法，如杰克所言，可用于諸多其他問題。在我看來，QR 算法也是純數學的非凡成果，具有豐富的內部代數結構，與托達可積系統密切相關 [47]。但純數學家并未發現 QR 算法，且據我非正式調查，我們中很少有人了解它。

我們構建線性代數的方式讓純數學家甚至難以想到它：我們用存在性定理與基構造表述 QR 分解，而 QR→RQ 迭代在這種語言中幾乎無意義。

下表列出其他標準矩陣分解及我遇到它們的場景：除第一個外，我均在線性代數課中隱性接觸，在李群 / 代數群理論中顯性接觸 —— 并非作為矩陣特征，而是作為約化李群 / 約化代數群的性質。

矩陣分解

線性代數

李群 / 代數群

i.

A=XΛX?1

Λ 對角

A 對稱

X 正交

標準正交特征基存在性

極大環面共軛性

ii.

A=QR

R 三角

隱性：

格拉姆–施密特正交化

巖澤分解

iii.

SVD：A=UΣV

U,V 正交

Σ 對角

隱性：

二次型同時對角化

嘉當分解

iv.

PA=LU

P 置換

L 下三角

U 上三角

隱性：

行約簡

布呂阿分解

面向純數學家的線性代數講解，比面向數值分析家的講解更不強調矩陣分解。兩個領域在適當的一般性與適用性水平上做出了不同選擇。

純數學家的線性代數方法關注在任意域上成立的運算（即允許加減乘除的標量概念）；特定于實標量的線性代數思想可能被視為過于專門化，進而被轉移到其他領域（如實李群理論）。相比之下，數值分析家主要關注在實標量上成立且數值穩定的運算，因此通常更強調奇異值分解而非特征值分解。

不難想象兩個領域做出不同選擇，這很可能導致線性代數的不同概念化。

例如，純數學家可能會關注那些在一般環或除環上均成立的運算；而應用數學家則可能會尋求這樣的運算 —— 它們并非能抵御矩陣元素的微小擾動，而是能抵御少量元素的擾動（這一點在計算機科學領域中已得到實際應用）。

4.4 計算、概念與超幾何函數

純線性代數與應用線性代數的更本質區別在于：純方法中，矩陣根本不是主要對象，只是計算工具；純數學家眼中更基礎的對象是抽象得多的向量空間之間的線性變換，矩陣 “只是” 該對象的表示。

將算法概念替換為更抽象概念，是現代數學的典型特征。然而，有限維向量空間的語言（對矩陣與向量的算法語言進行概念打包）在純數學之外的領域基本未獲接受。

更普遍地說，無論抽象概念多么優雅，算法形式有時更有機、更持久—— 德馬澤（Demazure）在消去理論中雄辯地闡述了這一點：

但對象是頑固的，顯式方法不斷重現。一項計算總是比特定時期局限它的理論框架更具一般性。二次方程求解起源于巴比倫泥板（引入歷史上第一個判別式），重現于二次型平方分解、勒讓德–高斯最小二乘法、格拉姆–施密特正交化……[21, p.336]

感謝詹姆斯?帕森（James Parson）提醒我關注德馬雷（Demazure）的這篇論文。該論文原文（法文）寫道：

“然而，研究對象往往執拗不屈，顯式方法亦會不斷重現。一項計算的普適性，總是超越特定時期內人們為其設定的理論框架。源自巴比倫泥板的二次方程求解法（它也開創了歷史上首個判別式的應用），此后又相繼在二次型的平方分解、勒讓德 - 高斯最小二乘法、格拉姆 - 施密特正交化等理論中重煥生機……”

復雜計算有時像體力勞動：手與紙執行思考，而非大腦。用概念框架替代這一過程，是試圖將過程內化，讓手工計算可被認知與交流。然而，這與形式主義的沖動恰好相反—— 形式主義追求外化，將數學思維從大腦轉移到紙或機器。這是一種奇特的張力。

換言之：結果的計算性呈現本身已是形式主義表述，即按定義的推理規則逐步處理。數學家常選擇更精細的編碼：先將計算性表述替換為概念性表述，再將概念性表述重鑄于公理化框架。

特殊函數是計算被抽象替代的有趣案例。至少在純數學中，它們大多被邊緣化，但在諸多當代理論中仍可見其影子。為說明這一點，我們來看歐拉與高斯的神奇超幾何函數：

?F?(a,b;c;z) = ∑[(a)?(b)?/((c)?n!)] z? (a)?=a(a+1)…(a+n?1)

它參與大量優美恒等式，如今很少被講授（我從未在任何課程中遇到，實屬遺憾！），但這些恒等式仍通過仍在講授的主題以不同方式被保留，原因在于：

(a) 在表示論中，?F?提供了 SL?(R) 群不可約表示的坐標顯式寫法，是維連金（Vilenkin）倡導的視角特例 [51]；

(b) ?F?滿足的微分方程僅涉及 z 與 d/dz 的多項式，使其可被引入純代數領域，催生超幾何 D - 模理論及其更代數化身 —— 超幾何層，卡茨（Katz）對此有深入研究 [34]。

針對這一例子，卡茨（Katz）這樣描述其推導過程：

“我們的核心發現是：從形式上看，該積分是函數f(x):=x???(1?x)????1與函數g(x):=x?a的加法卷積。隨后，我們將 f(x) 視為剛性局部系統的具體表現，將 g(x) 視為乘法群 G? 上庫默爾層（Kummer sheaf）的具體表現，并嘗試構造這兩類對象的加法卷積。從某種意義上說，我們全書的內容，正是先為這一思路建立嚴謹的理論基礎，再加以充分運用。”

我做過一個類似4.3節的練習：將?F?的標準恒等式列表，嘗試翻譯成更抽象的 (a)(b) 語言。結果發現，(a)(b) 確實能自然清晰地解釋部分公式，但 —— 呼應德馬澤的評論 ——無法解釋全部。事實上，部分公式根本不適合任一框架。

下表中 “？？” 表示我無法立即從給定視角 “自然” 推導出指定公式。最有趣的條目或許是最后一個：海涅（Heine）等人發現，超幾何級數理論整體可進行q-形變—— 系統修改項以引入額外參數 q，使諸多恒等式保持有效。這一形變在表示論語境（量子群）中很晚才被發現，在代數幾何語境中仍未完全清晰（大概率與 q-形變德拉姆上同調（de Rham cohomology）相關）。

?F?(a,b;c,z) 性質 / 表達式表示論代數幾何

在 z=1 處的取值：

?F?(a,b;c,1)= Γ ( c ) Γ ( c ? a ? b )/( Γ ( c ? a ) Γ ( c ? b ))

矩陣系數的漸近性

滿足 、 、 的函數方程

平移函子

底層局部系統的剛性

∫?1 t??1(1- t)????1(1?zt)?? dt

（基礎）

計算

（中間層）

卷積

梅林 - 巴恩斯積分表示：

z?/(2πi)∫Γ(a+s)Γ(b+s)Γ(?s)/ Γ ( c + s ) d s

對偶

連分數

克勞森恒等式：

?F?2=?F?

局部系統的對稱平方

z 的代數變換

貝利（Belyi）映射

微分方程：

z(1?z)F′′+(c?(a+b+1)z)F′?abF=0

卡西米爾（Casimir）算子

平坦聯絡

q-形變：?φ?

量子群

q-形變德拉姆上同調（？）

這些主題觸及現代理論的最深處，卻與早于現代數學的符號恒等式呈現深刻平行。

4.5 數學在數學中的不合理有效性

一組新概念可從另一組概念演化而來，但上述案例揭示了更非凡的現象：數學家講述的故事一次次意外碰撞，戴維?科菲爾德（David Corfield）稱之為 “數學在數學中的不合理有效性”[14]。

此類案例不勝枚舉，我僅列舉幾個我最關注的：

• 戴德金（ Dedekind ）與韋伯（ Weber） [19] 發現理想與環擴張語言是重寫黎曼曲面理論的合適工具；

• 艾倫伯格（ Eilenberg ）與麥克萊恩（ Maclane）的合作 [23] 源于代數與拓撲計算的巧合；

• 緊連通李群成對出現的現象，被數學家 [36] 與物理學家 [26] 獨立發現，兩個相隔甚遠領域的成果后來被證實相關 [35]；

• 關于高范疇論與拓撲學的近期融合，約翰?貝茲（ John Baez ）有一段令人難忘的描述：

• 這有點像爬山，借助繩索與裝備翻越陡峭懸崖，卻在山頂發現假日酒店，意識到另一側有四車道高速公路直通山頂。[4]

我們該如何理解這些近乎奇跡的巧合？它們是否揭示了世界的統一性、數學文化的互聯性，或我們自身心智的局限性？我更愿意得出如下啟示：

做數學的本質之一，就是用一千種語言講述同一個故事。

5. 向外眺望

在自動推理的時代，人們對數學的概念圖景可以有許多種構想。我們究竟選擇哪一種，在很大程度上取決于我們希望數學成為什么樣子。

人們常常默認我們對此答案已有共識。但我并不這么認為；即便真有共識，每一代人也都需要重新思考這個問題。然而，數學家不能孤立地思考它，我們必須與周遭世界對話，并且是重新對話。我將以此相關的幾點思考作為本文的結尾。

5.1 戴維斯–赫爾希（Davis–Hersh）論題

思考數學的人類角色時，我發現戴維斯與赫爾希提出的以下論題非常有用：

對具有可復現性質的心智對象的研究，稱為數學。[18, p.399]

當然，其他人也提出過類似思想；戴維斯與赫爾希的表述格外簡潔。

這意味著什么？故事在人與人之間傳遞會改變，詞語對不同人意義略有不同，每次傳遞都會變化。但數學的交流幾乎不受此類改變影響。若我描述 “直角” 概念，你可能忘記，但不太可能以輕微錯誤的方式記住 —— 直角概念是剛性的。圍繞這一論題的精彩數學討論可參見博羅維克（Borovik） [9]。

我們可以從多方面提出質疑：“心智對象” 未能充分解釋外化思維（如書寫計算）的作用，也無法闡明同構異態現象（即不同可復現心智對象之間的意外關聯）。可復現性存在程度差異；音樂、詩歌等活動也具有強可復現特征。我們不能忘記，可復現心智對象的構成受巨大文化影響 —— 想想為讓大腦適應數學所依賴的字母與數字，需要付出多么驚人的努力。

但戴維斯–赫爾希論題有兩個本質特征，使其特別適配本文目的：它將數學定位為人類活動（心智對象）與社會活動（可復現性質）。這為理解數學在人類文化中的角色提供了便利框架。

可復現心智結構提供心理確定性與審美滿足，支持精確交流與科學理解，調解共識 —— 即便在智能機器無處不在的時代，這些功能仍可能持續存在。

例如，若科學是對自然可復現性質的研究，那么順理成章（即便略顯草率）的結論是：科學的心智模型必然是可復現的認知對象，從這一視角看，同義反復地屬于數學。同樣明顯的是，心智可復現性與調解共識相關，并在一定程度上強制達成共識 —— 這種共識可視為現代文化中知識廣泛數學化的基礎。

算術事實是我們所有人必須認同的，無需了解其解釋；我們都認同珠穆朗瑪峰是世界最高峰，因為它的高度大于所有其他山峰，但我們很少追問山峰高度究竟測量的是什么。

數學與共識之間的關聯是雙向的。勞埃德（Lloyd）在其著作的第3章 [37] 中，探討了古希臘時期證明概念與政治、法律領域中說服需求二者間的關系。

5.2 重視交流

廣義上的數學扮演著基本的人類角色。但數學越高深，與這些人類功能的聯系就越脆弱。

第3節提及的概念（希爾伯特空間、環等）確實具備心智可復現特征，但其復現需要巨大努力，僅存在于連接自然語言與現代純數學語言的龐大訓練與教育基礎設施中；這一基礎設施的持續存在并非理所當然。

數學語言與自然語言的分離，是更廣泛主題的一部分 —— 數學作為智識傳統與更廣泛學術文化話語的分離。這是歷史學家杰里米?格雷（Jeremy Gray）所稱的數學 “現代主義轉型” 的一部分：

此處，現代主義被定義為自主的思想體系，幾乎無外部指涉，高度強調工作的形式層面，與日常世界保持復雜（甚至焦慮）而非樸素的關系……[28, §1.1.1]

數學作為自主研究領域的發展，讓我們得以探究極致復雜的結構，達到若 總被社會問責便永遠無法企及的深度。但這付出了極高代價。

當我們越來越遺忘人類思想的其他領域（包括人文、藝術與科學），我們也對自身產生漸進式失憶：丟失了幫助我們理解自身工作 “價值與意義” 的敘事。

當然，大多數數學家認同做數學有某種特別之處，否則我們不會選擇這條路；我們將其視為具有內在意義的活動，無需外部認可。但我們在狹窄同行圈之外分享這一體驗的能力已減弱，這一損失也屬于我們。

盡管存在這一鴻溝，歸根結底，我們的數學仍是更廣泛文化的仆人。它是個體與集體思考的工具，僅在保持有用性的前提下存續。雖然我們與知識、學術的關系必將被自動推理改變（正如很久以前被書寫改變），獨立與共同思考的需求絲毫未減。數學在其中必然扮演角色，但我們不能想當然地認為這一角色與過去相同。

因此，當數學家思考未來時，我們對學科發展方向的思考不能止步于自身領域邊界。相反，我們需要與領域外的智識世界開展更嚴肅的對話；為此，我們需要將交流重新置于數學觀念的核心。

正如戴維斯與赫爾希雄辯地指出：可交流性并非數學的附屬品，而是其定義的一部分。

6. 致謝

感謝哈佛大學數學系的盛情款待，感謝講座聽眾對我另類選題的積極參與。

感謝斯蒂芬妮?迪克（Stephanie Dick）關于自動化與數學史的有趣對話，感謝邁克爾?哈里斯（Michael Harris）不懈倡導數學與人文學科的深度交融。衷心感謝同事杰里米?阿維加德（Jeremy Avigad）、阿拉溫德?阿索克（Aravind Asok）、瑪蒂爾德?蓋爾貝利 - 戈蒂埃（Mathilde Gerbelli-Gauthier）、戴安娜?吉盧利（Diana Gillooly）、亞歷克斯?康托羅維奇（Alex Kontorovich）、帕特?沙夫托（Pat Shafto）、杰西?沃爾夫森（Jesse Wolfson），以及兩位匿名審稿人。他們對本文的仔細閱讀與批評，磨礪了我的思想，重塑了本文的最終形態。

原文參考文獻

[1] A. AbdurraHman and AksHay VenkatesH, Symplectic L-functions and symplectic Reidemeister torsion (mod squares). Invent. Math. 241, (2025), 717–839.

[2] J.F.Adams, InfiniteLoopSpaces,AnnalsofMathematicsStudies, 90, Princeton University Press, 1978

[3] J. Avigad, Mathematics and the formal turn, Bulletin of the AMS, 61 (2), (2024), pp. 225–240.

[4] J. Baez, This week’s finds in mathematical physics (week 233), https://math.ucr.edu/home/baez/week223.html

[5] J.H. Barnett, An American Postulate Theorist: Edward V. Huntington. In: Zack, M., Landry, E. (eds) Research in History and Philosophy of Mathematics. Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics/La Société Canadienne d’Histoire et de Philosophie des Mathématiques. Birkh?user (2016).

[6] G. BirkHoff, Lattice theory. 3rd edition. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 25, American Mathematical Society, 1967.

[7] D. Ben-Zvi, Y. Sakellaridis and AksHay VenkatesH, Relative Langlands duality, https://arxiv.org/abs/2409.04677

[8] B. BircH, Heegner Points: The Beginnings, in Heegner Points and Rankin L-Series, Mathematical Sciences Research Institute Publications 49. Cambridge University Press, 2004.

[9] A. Borovik, Mathematics under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice. American Mathematical Society, 2010.

[10] N. Bourbaki, The Architecture of Mathematics. The American Mathematical Monthly, 57(4), (1950), pp. 221-232.

[11] L.E.J. Brouwer, Intuitionism and formalism (translated by Arnold Dresden), Bull. Amer. Math. Soc. 20 (1913), 81–96.

[12] A. Clark and D. CHambers, Analysis, The extended mind analysis, Analysis, 58(1), (1998), 7-19.

[13] B. Conrad, https://math.stanford.edu/~conrad/ , point 2 of “Notes.”

[14] D. Corfield, Towards a Philosophy of Real Mathematics. Cambridge University Press, 2003.

[15] L. Corry, Heinrich Weber, Lehrbuch der Algebra (1895–1896), in Landmark Writings in Western Mathematics,1640–1940,I.Grattan Guinness (Editor), Elsevier 2005

[16] L. Corry, The Origin of Hilbert’s Axiomatic Method. In: Jürgen Rennetal(eds.) The Genesis of General Relativity, Vol. 4: Theories of Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics and the Dream of a Unified Theory, New York, Springer (2006), 139-236.

[17] G.R.DavidandC.Tomei,Theproblemofthecalissons,Amer. Math. Monthly, 96(5), (1989), 429–431.

[18] P. Davis and R. HersH, The Mathematical Experience, Birkhaüser Boston, 1981.

[19] R. Dedekind and H. Weber, Theorie der algebraischen Funktionen einer Ver?nderlichen, Journal für die reine und ange wandte Mathematik 92 (1882), pp. 181–290.

[20] P. Deift, L. C. Li, C. Tomei. Matrix factorizations and integrable systems, Communications on Pure and Applied Mathematics 42(4), (1989), pp. 443-521.

[21] M.Demazure,Résultant, discriminant. Enseign. Math. 58(3–4), (2012), pp. 333–373.

[22] S. Dick, AfterMath: The Work of Proof in the Age of Human Machine Collaboration, Isis 102(3), (2011), pp. 494–505.

[23] S. Eilenberg, and S. MacLane, Samuel Eilenberg and Categories. Journal of Pure and Applied Algebra 168, (2002), pp 127–131.

[24] F. Enriques, Il significato della critica dei principii nello sviluppo delle matematiche. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Cambridge University Press, volume 1, (1913), pp 68–79.

[25] K.F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, translated by Arthur A. Clarke. Springer–Verlag, 1986.

[26] P. Goddard, J. Nuyrs and D. Olive, Gauge theories and magnetic charge. Nuclear Physics B, 125(1), (1977), pp. 1–28.

[27] J. Gray,Anxiety and abstraction in Nineteenth-Century Mathematics. Science in Context, 17(2) (2004), pp. 23–47.

[28] J. Gray, Plato’s Ghost: The Modernist Transformation of Mathematics. Princeton University Press, 2008

[29] I. Hacking, Why Is There Philosophy of Mathematics At All?,Cambridge University Press, 2014.

[30] M. Harris, Silicon Reckoner, https://siliconreckoner.substack.com

[31] Hubert, T., MeHta, R., Sartran, L. et al. Olympiad-level formal mathematical reasoning with reinforcement learning. Nature (2025).

[32] E. Huntington, Sets of Independent Postulates for the Algebra of Logic, Transactions of the American Mathematical Society, 5(3), (1904), pp. 288-309

[33] E. Huntington, The method of postulates, Philosophy of Science 4(4), (1937), pp. 482-495.

[34] N. Katz, Rigid local systems. Annals of Mathematics Studies,139 (1996). Princeton University Press.

[35] A. Kapustin and E. Witten, Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program. Communications in number theory and physics, 1(1), (2007), pp. 1–236.

[36] R. Langlands, Letter to A. Weil, https://publications.ias.edu/rpl/paper/43 , 1967

[37] G.E.R.Lloyd, Demystifying Mentalities,Cambridge University Press, 1990.

[38] H. MacBetH, Algorithm and abstraction in formal mathematics. In: Buzzard, K., Dickenstein, A., Eick, B., Leykin, A., Ren, Y. (eds) Mathematical Software– ICMS 2024. Lecture Notes in Computer Science, 14749 (2024), pp. 12-25.

[39] Jean-Pierre Marquis, “A Path to the Epistemology of Mathematics: HomotopyTheory,”inTheArchitecture of Modern Mathematics: Essays in History and Philosophy, ed. José Ferreirós and Jeremy J. Gray, Oxford University Press, 2006, pp. 239–260.

[40] A. Mattuck, Review: Claude Chevalley, Fundamental concepts of algebra, Bull. Amer. Math. Soc. 63(6), (1957), pp. 412-417.

[41] W. McCune, Single axioms for groups and Abelian groups with various operations. Studies In Automated Reasoning, 10, (1993), pp 1.-13

[42] C.McLarty,Poincaréonthevalueofreasoningmachines.Bulletin of the AMS61(3), (2024), pp. 411–422.

[43] C. ParikH, The Unreal Life of Oscar Zariski, Springer, 2009.

[44] H. Poincaré, (translated by Arnold Dresden): Poincaré's review of Hilbert’s Foundations of Geometry.Bull.Amer.Math.Soc.10(1), (1903), pp. 1-23.

[45] J.A.Robinson, A Machine-Oriented Logic Based on the Resolution Principle. Journal of the ACM, 12(1), (1965), pp. 23–41.

[46] M. Scanlan, Who were the American postulate theorists? The Journal of Symbolic Logic, 56(3), (1991), pp. 981-1002.

[47] W. W Symes, The QR algorithm and scattering for the finite nonperiodic Toda lattice, Physica D, 4(2), (1982), pp. 275–280.

[48] W. THurston, On proof and progress in mathematics, Bull. Amer. Math. Soc. (new series) 30(2), (1994), pp 161–177.

[49] W. P. THurston, Conway’s tiling groups, Amer. Math. Monthly 97(8), (1990), pp. 757–773.

[50] M. Fraser, A. Granville, M. Harris, C. McLarty, E. RieHl, AksHay VenkatesH, Will machines change mathematics? Bulletin of the American Mathematical Society 61 (2), (2024), pp. 201-202.

[51] N. Ja. Vilenkin, Special Functions and the Theory of Group Representations. Translations of Mathematical Monographs, volume22, American Mathematical Society, 1968.

[52] F. WaldHausen, Algebraic K-theory of spaces, Springer Lectures Notes in Mathematics 1126, (1985), pp. 318–419.

[53] H.Weber,LehrbuchderAlgebra,vol3: Elliptischefunktionen und algebraische Zahlen, Braunschweig F. Vieweg, 1908.

[54] A. Weil, Foundations of Algebraic Geometry, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 29, American Mathematical Society, 1946.

[55] R. Wilder, The origin and growth of mathematical concepts, Bull. Amer. Math. Soc. 59 (5), (1953), pp. 423–448.

參考資料

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