湖南
注: 如果手機閱讀公式顯示不全, 請在公式上左滑手指顯示完整公式內容. 以下題目為第十七屆全國大學生數學競賽非數學專業B類試卷的填空題詳細解答, 思路與步驟僅供參考.
目錄
函數的第二類間斷點個數(同A)
一元函數的高階導數值
方向導數的計算
常值級數求和
定積分計算(同A)
函數 有______個第二類間斷點（填阿拉伯數字）.
解答：第二類間斷點是指：至少有一個單側極限不存在，或函數在該點附近趨于無窮大的間斷點。
由函數表達式可知，間斷點只能來自以下幾類位置：
(1) 要求 ，故 可能是間斷點；
(2) 時，即 ，可能是間斷點；
(3) 時，即 ，可能是間斷點。
下面分別討論。
（1）當 時： 有 ， 而 所以 . 故 是第二類間斷點。
（2）當 時： 此時在 的鄰域內有 ，因此
利用等價無窮小： , , , 可得
于是 所以 為可去間斷點，不是第二類間斷點。
（3）當 時： 有 , , , 因此分母趨于 ，分子趨于非零常數，從而 , 故 是第二類間斷點。
所以 第二類間斷點共有 個.
2、一元函數高階導數值的計算
設 則
解答：先將函數改寫為
法 1：特殊法(主要項).由于要求的是 處的三階導數，只需關注函數在 附近的低階主項。由于 ，故 , 從而整個第二項與 同階，是比 更高階的無窮小。因此，決定三階導數的只有第一項 。 于是
法 2：泰勒展開法.由 可得
又 , 得
所以 于是由泰勒展開的唯一性知， 項系數為 ，因此
法 3：直接求導法.記
則 逐階求導得：
下面計算 處的相關值。首先，
再求導：
代入 ，得 于是
3、方向導數的計算
設函數 則 在點 處沿曲線 的切線方向（指向逆時針方向）的方向導數為
法 1：圖形法.注意到 只依賴于 ，即它是關于 的復合函數。因此，在圓 上， 恒為常數，所以 也恒為常數。也就是說，該圓正是函數 的一條等值線。 沿等值線的切線方向前進，函數值不發生變化，因此方向導數為
法 2：公式法.令 則
由復合函數求導法則，得
因此在點 處，
故梯度為 曲線 在點 處的法向量可取為 于是其逆時針方向的單位切向量可取為
所以方向導數為
4、常值級數求和
設數列 滿足
則級數 的和等于
解答:記 當 時，
展開得 因此
于是
代入級數可得
這是一個裂項相消級數，因此
5、定積分計算
積分
解答.利用三角恒等變換：
所以原積分化為
令 , 則 且積分限變為：
當 時， ；
當 時， 。
因此 . 再作萬能代換：令 , 則
積分上下限對應為：
當 時， ；
當 時， , 所以
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