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本期第5講，EMS歐洲數學會邀請菲利普·穆恩斯（Filip Moons）教授帶來教育實踐講座：“d代表鴨子”——在一條充滿誤解的路上教導變量，發現代數教學中的常見陷阱，并學習如何引導學生正確理解變量。

左：菲利普·穆恩斯（Filip Moons）教授

右：主持人湯姆?克勞福德博士（Tom Crawford）

作者：EMS（歐洲數學會）2026-5-8

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-5-12

求喜歡

講座日程回顧&預告1月9日安娜?斯托克（Anna Stokke）：《數學基礎能力的重要性及提升路徑》

數學具有嚴密的知識層級性，若學生未能熟練掌握數感、算術、分數等基礎能力，在高階數學學習中必將遭遇瓶頸。教學內容的選擇與教學方法的運用，直接決定學習成效。

探索檢索練習、間隔學習、例題示范等高效認知科學策略，幫助學生夯實知識熟練度，構建深度理解。

3月13日伍鴻熙（Hung-Hsi Wu）：《何為學校數學？》

深入剖析學校數學課程的連貫性，探討如何為教師配備必備的數學專業知識，助力教學成功。

分享五種經實證驗證的有效策略，為有特殊數學學習需求的學生提供支持。

揭示代數教學中的常見陷阱，學習如何引導學生正確理解變量的核心內涵。

聆聽菲爾茲獎得主的見解，探討如何規范使用人工智能工具，培養健康高效的學術思維習慣。

主持人（湯姆?克勞福德博士Tom Crawford）：

歡迎來到歐洲數學會數學教育系列講座的第五場。抱歉剛才雙音頻串音了，聽著很別扭，稍等一下，好了。不好意思，剛才開的窗口太多，想自作聰明調設置，結果聽到自己回聲，特別影響狀態。我重新開始。

歡迎來到歐洲數學會數學教育系列講座第五期。這周依舊由我來主持，雖說剛才開場一團糟，實在有點不應該。也特別感謝安（Ann Dooms）上周臨時替我主持。可能有人好奇我上周怎么缺席了：我犯了數學人最典型的毛病 —— 算術不好、又搞不定時區，訂機票算錯時間，第四場講座直播時我還在飛機上。再次感謝安臨時救場。

歡迎新來的各位觀眾。我是湯姆?克勞福德博士，英國在職數學家，任教于牛津大學和劍橋大學，今天人在劍橋。菲利普特別遺憾我沒帶上我的巨型橡皮鴨玩偶，今天講座主題剛好是《d代表鴨子》，實在抱歉。玩偶留在牛津了，我人在劍橋，安排得太不巧。

本場是第五講，也是倒數第二講。終場講座將在五周后，6月12日周五開講，特邀陶哲軒教授分享：學生該如何管控自己的人工智能使用節奏，收官講座看點十足。當然今天的內容同樣精彩。

正式介紹菲利普之前，照例先介紹主辦方 —— 歐洲數學會。學會一直致力于推廣數學研究與數學教育事業。想了解入會詳情的觀眾，我們會把鏈接發在 YouTube 聊天區和視頻簡介里。任何人都可以加入，能助力個人職業發展，還能獲取海量優質學術資源。

另外，本次系列講座已接近尾聲，往期回放都在歐洲數學會 YouTube 官方頻道 https://www.youtube.com/c/EuropeanMathematicalSociety/live 。大家進入直播專區，就能找到所有錄播，可以按自己的倍速回看。

本場流程照舊：一小時主題講座，之后三十分鐘問答環節。大家有問題盡量用問卷表單提交；發聊天區我很難統計、容易遺漏。問卷鏈接同樣會發在 YouTube 聊天區和直播簡介下方。

鋪墊了一堆流程事務，現在正式有請今天的主講嘉賓：菲利普?穆恩斯（Filip Moons）。

他是烏得勒支大學弗洛伊登塔爾數學教育研究所數學教育助理教授，研究方向包含代數教學與數學學業測評，今天的講座大概率會圍繞這兩個方向展開。菲利普也曾是一線中學數學教師，兼具學術研究與一線教學經驗，視角會非常獨到。

本次講座標題：d代表鴨子，副標題：在誤解叢生的道路上講授變量概念。接下來交給菲利普，講座結束后我會收集大家的問題向他提問。祝大家聽得愉快！

菲利普?穆恩斯：

感謝主持人介紹。大家好。今天我主講變量概念，以及學生在數學學習中初次接觸變量時的認知解讀方式。

大家有問題可以掃描屏幕二維碼提問，結尾也會再次放出。今晚分享的研究并非我一人完成，是和埃森大學的凱特琳?克林拜爾（Katrin Klingbeil）合作，她也是我的摯友與同事，目前正在完成博士學業，所以今晚由我代為分享成果。

講這個主題，我習慣先梳理歷史脈絡。著名瑞士數學家歐拉（Euler）對代數的定義是：從已知量求解未知量的學問。本次講座重點聚焦：學生大多在 12–14 歲課標階段首次接觸變量概念。而人類自身，其實也花了極漫長的時間才建立起變量思想。

已知最早蘊含變量雛形的史料，是倫敦大英博物館藏的萊因德數學紙草書。紙草書上有這樣一道題：把一塊土地分給兩人，其中一人分得的土地是另一人的四倍。古埃及人有一套獨特解法，比如假設土地總量為 15 單位，用文字表述為：一個量加上它的四分之一，總和等于 15。這就是人類歷史上最早的變量思想雛形 —— 不用字母，只用文字指代未知量。

這種方式至今仍在中學實用課程中沿用：不引入字母，只用文字代替變量。

再往后略過部分歷史：丟番圖（Diophantus）已有變量意識，但無法對變量做運算；他使用字母，卻沒有代數運算規則。又過了上千年，努梅里烏斯（Jordanus Nemorarius）用大寫字母表示變量，但后人至今沒完全讀懂他的用法。

直到 1591 年，韋達（Vieta）首次完整寫出代數公式，距今不到 500 年。他還引入了沿用至今的運算符號、括號，更巧妙地用元音字母表未知量、輔音字母表已知量，早早區分了變量的不同功能角色，這一點和如今數學教學思路不謀而合。

四百年后，笛卡爾（Descartes）確立了我們現在通用的變量書寫習慣，引入下標符號 x?,x?,…,x?，現代變量使用范式就此定型。

人類花了這么久才吃透變量概念，所以學生初學覺得難，完全正常，不必有挫敗感。

順帶聊一個有趣的經典問題：為什么未知數常用字母 x 表示？背后是歐洲與阿拉伯數學文化交融的歷史，我給大家放一段短片講解。

（短片旁白）有一個所有人都好奇過的問題：為什么字母 x 用來代表未知數？數學課都學過，如今 x 早已滲透流行文化：X大獎、X檔案、X計劃、TEDx 等等。這個用法從何而來？

六年前我開始學阿拉伯語，才發現這門語言邏輯極其嚴謹。阿拉伯語遣詞造句如同構建方程，每個字符信息密度極高、表意精準。也正因如此，如今我們熟知的大量西方數學、科學、工程知識，其實在公元最初幾個世紀，由波斯人、阿拉伯人、土耳其人奠定基礎，代數一詞就源自阿拉伯語，本義是 “拆分重組、調和關系”。

阿拉伯數學典籍在 11—12 世紀傳入歐洲西班牙，歐洲學者迫切想要翻譯這批智慧成果，卻遇到兩大難題：第一，阿拉伯語有一些發音，歐洲人很難模仿；第二，這些發音沒有對應的歐洲文字字母。

典型代表：阿拉伯語???字母，發 /?/ 也就是漢語 “師” 的音，它也是阿拉伯詞???（某物、未知事物）的首字母，加上定冠詞??后就是?????，專指 “未知之物”，頻繁出現在早期數學證明文獻中。

中世紀西班牙學者翻譯時，西班牙語沒有 /?/ 這個音，也沒有對應字母。于是約定俗成，借用古希臘字母 χ 的發音與字形替代；后續再轉譯為拉丁語時，直接把希臘字母 χ 換成了拉丁語 x。自此，這套體系沿用近六百年，成為歐洲數學教材的通用范式。

所以答案很簡單：未知數用 x，只是因為西班牙語發不出阿拉伯語的 /?/ 音。這個冷知識值得分享給大家。

回到正題。數學教育中，學生要完成一次關鍵跨越：從算術到代數。算術只用到具體數字做計算，代數則引入字母變量。幾乎所有國家都把算術放在小學階段，12–14 歲初中階段正式引入變量與代數。

從教研中我們發現一個關鍵問題：很多數學老師并不清楚，變量在不同數學主題中承擔完全不同的功能角色；對純數學家來說這一點也很反直覺，但從數學教學法視角，這是核心痛點。

變量的四類核心角色

1. 1. 未知量 / 占位符

2. 小學就有類似題型，比如方框填空、紅點遮擋數字，學生靠直覺推理答案，不用正式規則。

3. 
   

4. 萊因德紙草書的文字表述、方程 x ＋ x÷4 ＝ 15 都屬于這類：變量代表唯一待求解的未知值。這也是學生從小學帶到初中唯一理解的變量角色。

6. 2. 變化量（函數自變量 / 因變量）

7. 初中引入函數后，y＝2x＋3 中，x 可自由賦值，y 隨之變化。和 “唯一未知量” 完全不同：這里 x 沒有固定唯一解，是可自由選取的變化量。

8. 
   

10. 3. 廣義數 / 模式概括符號

11. 用于歸納數學規律、通用公式，比如完全平方公式。學生初期很難接受：式子不用算出具體數字，只是概括通用規律。總覺得代數式必須算出一個數值，這是典型認知誤區。

12. 
    

14. 4. 參數

15. 如二次函數 y＝ax2＋bx＋c（a≠0），給定一組 a,b,c 就確定一個具體函數，變量充當參數角色。

16. 
    

課堂上我們常常默認這些角色切換，卻從不主動給學生講清楚。同一個字母，在方程、函數、公式、參數里用法完全不一樣，學生很容易混淆。

我希望大家記住一條核心教學原則：低年級初學變量時，字母永遠指代某個「數量」。高階抽象數學中變量可以指代任意數學對象，但中學階段，變量一定對應可計量的數量，而不是實物本身。這是學生最容易遺忘的根本原則。

除此之外，從小學到初中，等號=的意義也發生了本質變化。小學階段學生被潛移默化灌輸一個認知：看到等號就要做計算、算出一個結果。但初中代數里，很多等式只是表達左右兩邊數值相等，不需要計算、不用得出數字答案，這讓學生極度困惑。

這契合數學教育界著名的過程 — 對象二元性理論：任何數學概念初次接觸時，都先被當成一個操作過程；等號在小學是 “計算流程”，到高階學習必須被抽象成一個獨立數學對象，僅表示等價關系。函數也是同理：初學是代入求值的計算過程，學求導時必須把函數當成一個整體對象處理。

感興趣可以去查閱安娜的相關著作，有非常系統的論述。

變量教學還有一個典型誤區：認知閉合缺失。

看到完全平方這類恒等式，學生總覺得 “必須往下算、必須得出結果”，無法接受式子本身就是最終的規律概括。教學中必須明確告知學生：到此為止，我們只是描述通用模式，無需繼續計算。

接下來請大家準備紙筆（手機記錄也可以），我分享數學教育界經典難題：學生與教授人數方程問題。給大家 15 秒思考作答。

題目：用變量 S 表示學生人數、P 表示教授人數，列方程描述：學生人數是教授的六倍。

絕大多數人會寫出：6S＝P，這是典型逆向翻譯錯誤；

正確方程應為：6P＝S。

出錯根源：

• 逐字直譯：順著句子語序直接套公式；

• 直觀靜態對比：腦海里浮現 “6 個學生配 1 個教授”，直接亂寫等式。

必須從數量運算關系出發，而非字面語序或直觀畫面。

我和 凱特琳 圍繞代數教育做了專項研究，測評題目也衍生出本次講座標題的鴨子應用題：露西花 12 美元買了 6 只鴨子，列出方程 6d＝12，問字母 d 代表什么？

正確答案：一只鴨子的價格。

但在普通課堂上，學生最常見的錯誤答案：一只鴨子 / 鴨子本身。

這就是經典的字母指代實物誤區：把變量字母當成物體縮寫，而非數量符號。

該誤區由 Küchemann 在 1981 年首次系統提出，本質就是忘了：變量永遠指代數量，不是實物本身。

同類衍生誤區還有：

• 字母指代單位：

  把 d 理解成 “美元”，源自小學用字母縮寫單位（m 米、kg 千克）的習慣；

  
  

• 系數當作答案：

  自行車三輪車車輪總數問題，學生不列通用方程，反而直接湊出一組整數解，把數字硬塞進系數位置；或者純實物相加：直接寫成 自行車數＋三輪車數＝100，完全忽略數量關系。

  
  

我們這套測評隸屬于澳洲發起、德國跟進的 SMART 教研項目，核心是開發形成性測評試卷，精準診斷課堂里的數學認知誤區，讓老師依據測評結果調整教學。

https://media.springernature.com/full/springer-static/image/art%3A10.1007%2Fs10649-025-10428-7/MediaObjects/10649_2025_10428_Fig1_HTML.png?as=webp

整套測評包含五類題型：變量含義題、加法關系題、比例關系題等；為避免字母本身干擾，有的題目用和實物無關的字母設計，平衡實驗誤差。

我們對 2220 名德國 12–14 歲中學生、103 位數學授課教師做了兩輪測評：代數教學 1–2 周后首輪測試，教學滿一個月后復測，兩套試卷題型結構一致、僅生活場景替換（鴨子換成甜甜圈等），保證測評等效。

統計采用潛在轉變分析 LTA（結合潛在類別分析），把學生按答題模式分成不同認知群體，兼顧同一位老師授課學生的聚類相似性，采用多層 LTA 建模。

最終劃分出五類認知群體，從理解最到位到誤區最嚴重依次排列：

1. 基本正確組：變量含義、應用題正確率最高，但仍有部分實物指代誤區；

2. 字面含義正確組：直接提問變量含義能答對，但放到方程應用題就混淆；

3. 普遍實物誤區組：大概率把字母當成實物，僅簡單加法題偶爾答對；

4. 系數湊解固化組：所有題型都用湊整數解、硬代系數的方式答題；

5. 混合型誤區組：加法題湊解、其余題型一律實物指代。

https://media.springernature.com/full/springer-static/image/art%3A10.1007%2Fs10649-025-10428-7/MediaObjects/10649_2025_10428_Fig3_HTML.png?as=webp

兩輪測評的群體演化數據顯示：初始階段完全正確的學生僅占 7%，一個月教學后升至 21%，依舊只有五分之一學生真正理解變量本質；且初始正確組 96% 能保持正確認知，極少倒退。

https://media.springernature.com/full/springer-static/image/art%3A10.1007%2Fs10649-025-10428-7/MediaObjects/10649_2025_10428_Fig2_HTML.png?as=webp

https://media.springernature.com/full/springer-static/image/art%3A10.1007%2Fs10649-025-10428-7/MediaObjects/10649_2025_10428_Fig4_HTML.jpg?as=webp

而誤區最大的兩類群體始終占比極高，只是略有縮減；純湊系數答題的群體從 11% 降到 4%，且無新增學生誤入這類誤區，說明教學能遏制這類最差誤區。

整套樣本里僅有 7 名學生滿分，數量太少無法單獨歸類。

我們也對比了三位風格迥異的教師教學效果：

• 第一位標桿教師：能大幅消解兩大主流誤區，正確認知群體大幅擴容，教學效果極其亮眼；

• 第二位普通教師：群體結構變化不大，僅有小幅進步，整體趨于固化；

• 第三位低效教師：不僅沒有改善，認知誤區反而加劇擴散。

我們仍在研究背后成因，目前已有明確發現：

很多老師剛教變量，就急于帶學生做化簡運算，慣用水果類比代數：把 5a－3a 解釋成 5 個蘋果減 3 個蘋果，剩 2 個蘋果；香蕉同理。這種教法全球盛行，但危害極大：不斷強化 “字母 = 實物” 的錯誤認知，牢牢固化學生的實物指代誤區。

第二位老師的問題：講解方程時只說 “把項移到等號另一邊”，把變量當成可以隨意挪動的實物，同樣強化錯誤認知。

而標桿教師的核心秘訣：反復、明確強調變量的數量含義。遇到題目先問學生：這個字母代表什么數量？不斷強化 “變量指代數量，不是物體”，久而久之幫學生建立正確認知。

當然不能只怪老師，教材本身也有責任。荷蘭部分教材的習題，不用水果類比根本無法講解，客觀上倒逼老師采用錯誤教法。

我們還做了多層線性回歸分析：教師、班級對學生變量認知正確率影響極其顯著；意外發現：在家不說德語、母語非德語的學生，測評成績反而更好。我們推測：這類學生不會被母語語序、字面直譯思維束縛，更少陷入逐句套方程的誤區。

相關研究論文已經發表，YouTube 視頻簡介會附上鏈接 https://doi.org/10.1007/s10649-025-10428-7 。大家還有問題可以繼續掃碼提問，接下來把時間交還給主持人。

Q&A問答環節

主持人：

非常精彩的分享，干貨滿滿。大家可以繼續提交問題，我已經收到一部分了。照例我先搶先問一個一線老師最關心的問題：結合你的研究，老師想要向標桿教師看齊、規避低效教法，最實用的一兩條核心建議是什么？不用等研究完全定論，要能立刻落地用在課堂上的方法。

菲利普?穆恩斯：

第一，反復明確強調變量的數量含義，時不時復盤追問：這個變量在這里代表什么數量？堅持強調一定有效。

第二，徹底摒棄水果實物類比教法。學生小學已經掌握算術運算，變量本質是算術規律的抽象推廣，不用靠蘋果香蕉類比。可以分組給 a、b 賦不同具體數值，讓學生自行計算、發現通用規律，再抽象出變量表達式，這才是正確的教學路徑。

主持人：

那是不是意味著完全不能用水果類比？能不能初學階段先用它幫學生入門，高年級再重新糾正定義？

菲利普?穆恩斯：

我建議任何階段都徹底不用。5a－2a 的運算邏輯和蘋果毫無關系，只會根深蒂固誤導學生認為字母是實物。而且這種類比只適用于加減，乘法、根式完全不適用，后續還要花大量時間糾錯。寧可多花一點時間慢慢鋪墊，也不要走這種捷徑。

主持人：

確實是捷徑一時省事，埋下長期認知隱患，和之前講座提到的 “重理解、輕套路” 本質相通。只求當下學生會做題，后續會付出更大代價。

接下來看觀眾提問：講解方程時常說 “把 x 移到等號另一邊”，這種通俗講法要不要杜絕？有沒有更合適的表述？

菲利普?穆恩斯：

解方程的本質是等式兩邊同時做相同運算，這是根本原則。初學階段一定要直白講清楚、甚至寫出來：兩邊同時減 2、同時乘同一個數。熟練后可以簡化步驟，但教學語言必須堅守本質，不說 “把變量挪到另一邊” 這種實物化表述。

堅守 “兩邊同運算” 的邏輯，后續指數、對數、根式方程都能通用，不會產生認知斷層。

主持人：

下一個問題：小學該如何引入等號的正確意義？畢竟小學生看到等號就想計算，這很難改變。

菲利普?穆恩斯：

小學階段把等號當成 “計算流程” 無法完全避免，這是過程 — 對象二元性的必然。但要杜絕一個壞習慣：不能把等號當續寫算式的省略符號，比如連寫一串等式接龍，濫用等號簡寫步驟，完全偏離等價的本質含義。比利時甚至課標明文禁止這種不規范用法，雖說落地執行有難度，但規范使用等號是底線。

主持人：

學生把 d 理解成鴨子實物，是不是因為小學用 m 代表米、kg 代表千克，習慣了字母當縮寫？教學中要不要刻意規避單位縮寫，或是明確區分變量和單位符號？

菲利普?穆恩斯：

日常書寫 m 代表米這類單位縮寫不用改，現實中本就通用。建議多采用文字公式過渡：先用完整文字表述長、寬、單價，再縮寫成字母，讓學生明白字母是數量名稱的縮寫，不是實物本身。部分職業中學甚至全程只用文字公式、不引入字母變量，就是為了規避這類誤區。

主持人：

像學生教授人數這種題，先把題意用完整文字寫出來，再轉方程，會不會減少逆向翻譯錯誤？還是反而容易被語序帶偏？

菲利普?穆恩斯：

文字過渡是有用的，能倒逼學生理清變量含義，貼合標桿教師的教學思路。還要教學生結果合理性自檢：列出方程后代入簡單數值驗證，憑常識判斷邏輯是否合理。另外一個現實難點：實物指代誤區有時反而能碰巧做對題目，比如鴨子 6d＝12，字面直譯剛好等式正確，這也讓學生很難意識到自己的認知有錯。

主持人：

幾何里字母既用作變量，又用作點、線段的名稱，怎么幫學生區分，守住 “變量代表數量” 的原則？

菲利普?穆恩斯：

必須明確告知學生字母的不同功能：公式里的字母是變量、代表數量；幾何里 A、B 是點的名稱、不屬于變量。不用刻意創造新規則，只要每一次使用都講清當下字母的身份即可。韋達當年用元音、輔音區分已知未知量，其實非常科學，后來反而慢慢遺失了這種教學約定。

主持人：

總結下來核心就是：每一個場景都明確講清變量的含義與角色，不默認學生自行領悟，標桿教師也正是靠這點取得好效果。非常認同。

時間關系，最后不再收新問題了。再次感謝菲利普帶來超高質量的講座，收獲非常大。往期講座都可以在頻道回看，五周后6月12日收官講座特邀陶哲軒主講，值得期待。感謝歐洲數學會EMS主辦，感謝菲利普，也感謝各位觀眾參與，我們五周后再見。

菲利普?穆恩斯：

謝謝大家。

參考資料

https://www.youtube.com/watch?v=Sot17VXDhAY

https://doi.org/10.1007/s10649-025-10428-7

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