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原創(chuàng)：雷豐圖

校對(duì)：牧夫天文校對(duì)組

后期、責(zé)任編輯：王啟儒

上篇文章我們說到，所有微觀粒子都具有波粒二象性，物理學(xué)家把這種“既是波又是粒子”的狀態(tài)，起了一個(gè)專門的名字——量子態(tài)。

很多科普講到這里就停了，仿佛“量子態(tài)”是一個(gè)用來終結(jié)話題的魔法詞匯。但你心里一定還有疑問：量子態(tài)到底是個(gè)什么東西？它是真實(shí)存在的，還是數(shù)學(xué)家的腦內(nèi)劇場？為什么它一被測量就“坍縮”？光子究竟是怎么“同時(shí)走兩條縫”的？

要回答這些問題，首先我們要了解一下量子態(tài)的住處—— 一棟名叫希爾伯特空間的房子里。

希爾伯特空間：一個(gè)形容“狀態(tài)”的向量空間

先看一個(gè)生活中的例子。普通的三維空間，每個(gè)向量用三個(gè)數(shù)字 (x, y, z) 就能描述。

但現(xiàn)在想象你要描述一根琴弦的形狀。琴弦不是三個(gè)點(diǎn)，它是連續(xù)的一條線。要完整描述它在某一瞬間的形變，你需要給出這條線上每一個(gè)點(diǎn)的偏移量——無窮多個(gè)點(diǎn)，就需要無窮多個(gè)數(shù)字。

希爾伯特空間，就是這種需要無窮多個(gè)數(shù)字才能描述的狀態(tài)所組成的空間的一種，同時(shí)也是最規(guī)整、最適合做物理的那一種。量子態(tài)就可以看作是希爾伯特空間里模長為1的向量。

在雙縫實(shí)驗(yàn)里，我們只關(guān)心兩種可能：走左縫、走右縫。于是整個(gè)無窮維空間被簡化成一個(gè)二維子空間，兩條縫分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)正交的基向量：

|左?：光子確定走左縫的狀態(tài)

|右?：光子確定走右縫的狀態(tài)

這就像平面直角坐標(biāo)系里的x軸和y軸，互相垂直、互相獨(dú)立。

光子的任何狀態(tài)，都可以寫成這兩個(gè)基向量的組合：

∣ψ?=a∣左?+b∣右?

這里 a 和 b 是復(fù)數(shù)，叫概率幅。疊加不是“不知道走哪邊”，而是“本質(zhì)上同時(shí)具備兩種可能性的成分”——這就像“東北方向”同時(shí)包含“東”和“北”兩個(gè)分量，你不會(huì)覺得東北方向有什么神秘。

既然光子的狀態(tài)向量可以被寫成這個(gè)形式，我們又如何計(jì)算 a 和 b 具體的值是多少呢？

這里我們就要運(yùn)用到向量的內(nèi)積。首先我們知道，狀態(tài)“左” 和狀態(tài)“右”在向量空間中為正交（內(nèi)積為0）。而一個(gè)向量與自己（復(fù)共軛）的內(nèi)積為1。從而我們得出

這就完美了——如果|a|2是光子出現(xiàn)在左縫的概率，|b|2是光子出現(xiàn)在右縫的概率，加起來剛好是1，符合總概率守恒。概率規(guī)律不是硬貼上去的，它是希爾伯特空間里“向量長度為1”這個(gè)條件的自然結(jié)果。理論上，任何滿足|a|2+|b|2=1的復(fù)數(shù)對(duì)(a, b)都對(duì)應(yīng)一個(gè)合法的量子態(tài)。自然界中有無數(shù)種不同的量子態(tài)，每種都有一組不同的(a, b)。光子究竟處于哪一種疊加態(tài)，取決于它是怎么被制造出來的。

舉個(gè)例子：

如果讓一束光直接照射兩條完全對(duì)稱的縫，入射波前是平的，左右縫被同等激發(fā)。這時(shí)候光子態(tài)大致是 |ψ? = (1/√2)|左? + (1/√2)|右?，a = b = 1/√2。此時(shí)|a|2 = |b|2 = 1/2，走左縫和走右縫的概率各占50%。

如果你在左縫前面加一片薄玻璃，改變左縫的光程，左邊分量的相位會(huì)被推遲，a 仍是1/√2，但b變成了 (1/√2)·e^(iφ)，a 和 b 大小不變，相對(duì)相位不同。

如果直接把右縫遮住，制備出的光子態(tài)就是 |ψ? =

|左?，a = 1, b = 0，沒有疊加。

a 和 b 的數(shù)值，是你制備量子態(tài)時(shí)“寫”進(jìn)去的。實(shí)驗(yàn)裝置決定了它們。

由此，一個(gè)東西同時(shí)處于兩種狀態(tài)——翻譯成希爾伯特空間的詞匯，只是一句話：兩個(gè)向量相加，得到一個(gè)新向量。

如何確定一個(gè)量子態(tài)

那么我們觀測到疊加態(tài)嗎? 例如，我們能直觀的看到一團(tuán)概率云同時(shí)飛過左縫和右縫嗎？

上期我們提到，在未被測量前，光子處于疊加態(tài)。而測量，迫使它“做出選擇”。也就是說在測量后，光子的狀態(tài)從|ψ? = a|左? + b|右? 坍縮成了 |ψ? = 1 |左? 或 |ψ? = 1 |右?。也就是經(jīng)典的觀測結(jié)果。該過程是真隨機(jī)的，由概率決定，但你沒法從一個(gè)結(jié)果反推 a 和 b。

但如果你重復(fù)同一個(gè)實(shí)驗(yàn)很多很多次（比如發(fā)射100萬個(gè)光子），統(tǒng)計(jì)“左”出現(xiàn)的頻率，這個(gè)頻率會(huì)趨近于|a|2；“右”的頻率趨近于|b|2。通過大量統(tǒng)計(jì)，你可以反推 a 和 b 的模（即|a|和|b|）。

你還可以設(shè)計(jì)干涉實(shí)驗(yàn)——改變兩條路徑的相位差，觀察干涉條紋的移動(dòng)，這就是量子態(tài)層析（quantum state tomography）的基本思路，暫時(shí)超出了本文的初衷。

小結(jié)

1. 量子態(tài)是希爾伯特空間里長度為1的向量。

2. 雙縫實(shí)驗(yàn)的兩個(gè)可能路徑構(gòu)成基向量|左?和|右?。

3. 疊加態(tài)是這兩個(gè)基向量的線性組合 a|左? + b|右?。

4. 內(nèi)積的正交歸一規(guī)則自然導(dǎo)出 |a|2 + |b|2 = 1，概率解釋水到渠成。

5. a 和 b 由制備方式?jīng)Q定，它們的模可以通過大量測量統(tǒng)計(jì)得到，相位可以通過干涉實(shí)驗(yàn)恢復(fù)。

所以，希爾伯特空間不是什么高深莫測的抽象概念——它只是把我們熟知的向量、長度、投影、正交這些幾何直覺，搬到了一個(gè)能容納無限多種可能性的空間里，然后量子力學(xué)所有的“反直覺”現(xiàn)象，都變成了幾何學(xué)的自然推論。

下一篇文章，我們會(huì)更深入地探討“測量” 這一概念以及它在希爾伯特空間中的數(shù)學(xué)表達(dá)，從而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝茖?dǎo)出“坍縮”這一現(xiàn)象。與疊加態(tài)一樣，在希爾伯特空間中，坍縮這一反直覺的現(xiàn)象也將顯得順?biāo)浦邸?/p>

——The End——

『天文濕刻』 牧夫出品

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那么，希爾伯特本人和量子力學(xué)到底什么關(guān)系？

答案是：他沒搞量子力學(xué)。

大衛(wèi)·希爾伯特是20世紀(jì)初哥廷根的一位數(shù)學(xué)巨匠。他在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了著名的23個(gè)問題（其中第二個(gè)問題包含了對(duì)算術(shù)系統(tǒng)一致性的證明要求，后來被哥德爾不完全性定理打破）。他主要研究積分方程和無窮維空間，純粹出于數(shù)學(xué)興趣打造了一套關(guān)于“具有內(nèi)積的完備向量空間”的理論。這套理論后來被冠以他的名字——希爾伯特空間。

然后他做了一件事：把它封存，繼續(xù)干活。

二十多年后，物理學(xué)家們撞上了量子力學(xué)。海森堡搞出了矩陣力學(xué)——奇奇怪怪的無窮維矩陣。薛定諤搞出了波動(dòng)力學(xué)——奇奇怪怪的偏微分方程。兩邊互相看不上，誰也不知道誰的框架更根本。

1927年前后，數(shù)學(xué)家馮·諾依曼介入。他看了看兩邊，說了句讓所有人安靜下來的話：“你們倆說的是一回事。都是希爾伯特空間。”

從那以后，希爾伯特空間的框架成了量子力學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)語言。態(tài)矢量、內(nèi)積、算符、本征值、幺正演化——這一整套概念，把量子力學(xué)的所有“怪異”都收進(jìn)了一個(gè)嚴(yán)格、自洽、可計(jì)算的體系里。

Image Credit: jstor.org

牧夫

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