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在下午的線下論壇中，清華大學丘成桐數學科學中心教授孔令欣在以《廣義對稱性：從離散統計模型到量子引力？》為主題的演講中解釋了“廣義對稱性”的概念，以及它如何幫助我們把離散的統計模型、連續的場論，甚至與量子引力串在一起。

孔令欣認為，傳統對稱性對應守恒量，數學結構是“群”。廣義對稱性把這個概念放大，守恒量可以是各種不同維度的“算子”，甚至可以“不可逆”，而這種數學結構就叫“張量范疇”。

孔教授以“二維模型”作為具體例子，她表示，很多熟悉的二維模型（如伊辛模型）可以等價于一個三維離散拓撲理論的邊界條件。不同溫度（不同相）對應邊界上不同的“代數”結構，相變點就是這些代數的疊加。利用這個觀點，可以預言相圖、計算相變溫度，甚至造出全新的模型。

清華大學丘成桐數學科學中心教授孔令欣

以下為演講全文：

首先非常感謝主辦方給我這個機會，代表丘成桐數學中心參加這個論壇。今天我想向大家介紹一下近十年來在數學物理、理論物理領域一個比較令人振奮的成果，就是關于廣義對稱性。雖然它源于一些比較抽象的數學，可是在一些實際問題上，似乎也能帶來很大的進展甚至突破。

首先，我先介紹一下什么是廣義對稱性。

對稱性在理論物理中有著非常重要的作用，比如大家熟悉的鏡像對稱性、平移對稱性、時間平移對稱性等等，這些都為物理理論和物理體系帶來了很多約束，也為我們提供了更多分析手段。

廣義對稱性是什么？

我們知道，有了對稱性，諾特定理告訴我們對稱性會帶來守恒量。比如鏡像對稱性或平移對稱性導致動量守恒，時間平移對稱性給出能量守恒。所以守恒量與對稱性是一枚硬幣的兩面。我們可以直接問對稱性是如何作用的，比如左右鏡像反射；也可以問它到底給出了哪種守恒量，這也是理解對稱性的一種方式。

一旦我們討論守恒量，就會發現守恒量有很多不同的品種。通常討論電荷作為一個守恒量，我們要數一下整個空間中有多少電荷。從量子力學和量子物理的角度，守恒量就是一個算子，而且因為我們要數整個空間中的電荷，所以電荷算子是三維的、充滿整個空間的。

因為它是守恒量，所以它要與能動張量有簡單的對易關系。因此，我們也可以把對稱性理解為：尋找那些與能動張量對易的東西。沿著這個思路，對稱性的概念可以大大推廣。與能動張量對易的不僅僅是三維的算子，也可以是二維的膜算子，也可以是鏈狀的算子，也可以是各種維度的算子。

以前我們討論對稱性，一般認為對稱性是可逆的。但如果只考慮與能動張量對易的守恒量，它們還可能是不可逆的。當我們專注于守恒量時，這個概念本身就可以被大量推廣，這就是廣義對稱性所要說明的事情。

以往的對稱性，比如旋轉對稱性、平移對稱性等，其數學結構是群論。當我們推廣對稱性之后，新的數學結構就是群的推廣，叫做“張量范疇”。張量范疇告訴我們有多少個品種、不同維度的守恒量，以及它們是否可逆。把所有不同維度、可能可逆也可能不可逆的、與能動張量對易的東西收集起來，這就是廣義對稱性。

廣義對稱性的發展中有很多華裔科學家的身影，他們做出了非常杰出的貢獻，比如聞小剛教授在這個方向上做了很多奠基性的工作。我也很榮幸作為華人學生參與到這個研究中。

接下來要提到全息原理與廣義對稱性的深刻關系。剛才李老師也提到了全息原理，在廣義對稱性的情形下，這叫“拓撲全息原理”，它跟李老師說的全息原理有很深的關系，最后講到量子引力時會用到。

這里只需要知道一點：拓撲全息原理大致告訴我們，當我們考慮的系統具有某種廣義對稱性時，原來每一個低維的具有對稱性的系統，都可以寫成一個高一個維度的拓撲理論（d+1維）。這個高維理論是一個拓撲理論，用來描述張量范疇。也就是說，要描述一個具有某種對稱性的物理體系，可以轉化為：在一個高一個維度的拓撲理論中，如何構造它的邊界條件。這看起來很抽象，但在實際問題中很有用。

下面給出一個非常具體的例子，說明利用廣義對稱性和高維拓撲理論，確實能讓我們對原有的物理有更深入的理解，并做出一些物理預言。

這個簡單的例子是二維統計模型。二維統計模型在真實物理世界中很容易實現，有很多著名的模型，對于理解相變和共形場論有非常重要的作用。

有了廣義對稱性之后，統計模型能有什么新發展呢？

大約十來年前，一些凝聚態物理學家注意到一個很有趣的事情：有非常大的一類二維模型，包括我們熟悉的伊辛模型以及其他許多可解模型，都可以寫成一個三維離散拓撲理論的邊界條件。他們只是注意到，每個配分函數剛好可以寫成三維離散拓撲理論的邊界條件。現在有了廣義對稱性，我們就知道，三維拓撲模型正是抓住了二維統計模型的廣義對稱性。

這一類三維拓撲模型，在凝聚態物理中叫做格點模型（lattice model）。我們考慮三維拓撲的配分函數，它的邊界就是統計模型所在的平面，也需要做三角剖分。當我們要給邊界條件時，就在二維邊界上做一個投影。比如要構造伊辛模型，它的廣義對稱性有三個拓撲守恒量，可以叫0、1、1/2。

在三維拓撲模型中，對三維空間進行三角剖分后，每一條邊也用這三個品種的label標記。要得到邊界模型，需要讓某些label取特定的值，比如綠色邊上的label要取某一個值。這樣，三維拓撲模型的配分函數就能完全對應伊辛模型的配分函數，而且這個參數正好等價于伊辛模型的溫度。所以不同溫度下的伊辛模型，在三維模型中對應不同的邊界條件——用一個常數描述不同的邊界條件，每個邊界條件給出一個不同溫度的伊辛模型。這一類無數個可解模型都能寫成三維拓撲模型的邊界條件。

對我來說，第一次看到這個結果時感到很困惑。雖然我知道三維模型揭示了二維模型的對稱性，但邊界條件為什么長成那個樣子？有沒有數學理論解釋這樣做的原因？

當初凝聚態物理學家得到這個觀察時，他們只是說“這樣做剛好能與已知模型對上”，但這些投影對他們來說似乎沒有特殊意義。

我們花了好幾年盯著這個問題，最近終于弄清楚了至少一大類模型背后的數學。這跟序參量以及相變很有關系。

要理解伊辛模型的相圖：高溫區域有一個自發對稱性破缺，低溫區域有另一種自發對稱性破缺，兩者在相變點處對稱性都未破缺。現在我們討論廣義對稱性時，理解相圖仍然可以用自發對稱性破缺這個傳統框架，只是把它推廣到廣義對稱性上。

第一個問題是：不同的相、不同的自發對稱性破缺，在范疇論中有沒有簡單的描述？答案是有的。具體細節這里不展開，但它對應于一些“代數”，這些代數在范疇論中已被長期研究。

不同的代數描述不同的自發對稱性破缺。我們發現，伊辛模型對應的邊界條件，正好等價于把這些范疇論中的代數涂在拓撲場論的邊界上：一種對稱性破缺涂一種代數，另一種對稱性破缺涂另一種代數。而剛好在相變點時，邊界上是這些代數的等權疊加。因此，我們有了通過拓撲場論預言相圖的能力。不僅在伊辛模型中能準確利用這些拓撲不變量（即代數結構）計算出相變溫度，而且在一大類統計模型中，那些奇奇怪怪的相變點現在在拓撲理論里都有了非常簡單的解釋——通過代數結構就能解釋。而且，因為現在有了理解，我們可以構造全新的模型：你給我一個廣義對稱性，我能反饋出一大批統計模型，并且它們的相圖和相變點都可以做出理論預言。可見廣義對稱性是一個非常強大的體系，能幫助我們理解已有的物理。

有人可能會問：我們的世界是連續的，場論也是連續的，這些離散的統計模型有什么用？它們非常有用。比如伊辛模型在連續相變點附近，長距離行為等價于一個二維共形場論。那么，我們能否通過廣義對稱性把離散模型和連續場論更有機地聯系起來？答案是肯定的。

具體怎么做呢？大家知道，要處理紅外極限（長距離極限），通常用重整化。在拓撲場論中有一個很好的辦法：因為拓撲場論中的三角剖分是任意的，我們可以從一個三角剖分變換到另一個。不同剖分之間有一個非常簡單的線性變換。給定一個對稱性，從一個剖分到另一個剖分的變換是具體可知的。

初始的邊界條件記為Ω，在三角剖分的線性變換下，邊界條件會吸收這個線性變化而改變。當三角剖分變得越來越粗粒化（coarse-grained），我們要描述連續場論，就相當于問：如何找到那個在三角剖分變換下保持不變的邊界條件？如果能數學上解出這個不動點，那么離散模型就是連續場論的嚴格描述。

經過幾年的努力，我們真的解出了這個不動點，結果發現它是由共形場論中的共形塊（conformal block）構造的。

我們找到了具體的不動點，它告訴我們離散的東西如何描述連續場論。盯著這個答案，我們發現它實際上解釋了如何把一個連續場論“砍成一片一片”。為什么這個離散構造能等價于連續場論？因為它把連續場論在任意曲面上的配分函數，理想化為一個三點函數，再一個一個三角形粘起來。這也解釋了為什么凝聚態物理中做張量網絡數值模擬的人，會發現張量網絡也有不動點，能夠很好地描述共形場論的性質。我們實際上給出了一個嚴格的解釋：只要抓住對稱性，就能把連續場論嚴格地寫成一個離散形式。而且我們做了數值測試，發現它與最好的張量網絡數值結果精度相當，說明它確實是一個很好的把連續場論離散化的方法。

我最初研究這個問題是為了量子引力，因為我自己的方向是AdS/CFT全息原理。一直以來，大家都希望張量網絡能否在場論與引力之間架起橋梁。因為我們找到了這個離散化的方法，以及它與三維拓撲場論的關系，于是我們在一個低維的（二維）共形場論中，按照離散化的辦法把場論砍成一片一片，再通過三點關聯函數一個一個三角形地構造，最后竟然讀出了一個完整的三維幾何結構。也就是說，雖然我們做的是廣義對稱性，但一旦把這個方法應用到具體的共形場論中，它竟然能告訴我們非常嚴格的幾何是什么。

最后，我們對廣義對稱性有什么期待呢？既然它能告訴我們如何把一個連續場論砍成一片一片，它就有很大的應用潛力。比如在一些常規體系中，只要我們能抓住它的廣義對稱性，然后把它離散化，這些問題就可以很方便地放到計算機里做模擬。所以，我們現在希望把這一套工具推廣到我們更熟悉的強關聯共形場論中，希望能為物理帶來新的進展甚至突破。

謝謝大家！