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AI又一里程碑突破：在平面上放置n個點，其中恰好相距為1的點對最多能有多少個？近期OpenAI的一個模型推翻了相應猜想。

作者：OpenAI官網（openai.com） 2026-5-20

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-5-23

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近80年來，數學家一直在研究一個看似簡單的問題：在平面上放置n個點，其中恰好相距為1的點對最多能有多少個？

這就是平面單位距離問題，由保羅?埃爾德什（Paul Erd?s）于1946年首次提出。它是組合幾何中最著名的問題之一，表述簡單，卻極難解決2005年由布拉斯（Brass）、莫澤（Moser）和帕奇（Pach）所著的《離散幾何研究問題》一書稱其為 “組合幾何中可能最著名（也最容易解釋）的問題”。普林斯頓大學頂尖組合數學家諾加?阿?。∟oga Alon）將其描述為 “埃爾德什最喜歡的問題之一”。埃爾德什甚至為解決該問題設立了獎金。

今天，我們分享一項在單位距離問題上的突破。自埃爾德什最初提出以來，主流觀點一直認為，下文所示的 “正方形網格” 構造在最大化單位距離點對數量上基本是最優的。OpenAI內部一個模型證偽了這一長期存在的猜想，給出了無窮多族能實現多項式階改進的例子。該證明已由一組外部數學家驗證。他們還撰寫了一篇配套論文，解釋論證過程，并為該結果的重要性提供更多背景與語境。

這一結果的發現方式同樣值得關注。該證明來自一個全新的通用推理模型，而非專門為數學訓練、為搜索證明策略而搭建，或專門針對單位距離問題的系統。作為檢驗先進模型能否助力前沿研究的更廣泛工作的一部分，我們用一系列埃爾德什問題對其進行了測試。在這個問題上，它給出了一個解決該開放問題的證明。

該證明是數學與人工智能領域的重要里程碑。這是人工智能首次自主解決一個處于數學子領域核心地位的著名開放問題。它也展示了這些系統如今所能支撐的推理深度。數學為推理提供了一個格外清晰的試驗場：問題是精確的，潛在證明可以被檢驗，而一段長論證只有從頭到尾的推理都成立才能奏效。該問題的解決方法同樣值得關注。該證明將代數數論中出人意料、精妙復雜的思想應用到了一個基礎幾何問題上。

菲爾茲獎得主蒂姆?高爾斯（Tim Gowers）在配套論文中寫道，該結果是 “人工智能數學的一座里程碑”。頂尖數論學家阿魯爾?尚卡爾（Arul Shankar）表示：“在我看來，這篇論文表明，當前的人工智能模型不再僅僅是人類數學家的助手 —— 它們能夠產生原創且巧妙的想法，并將其付諸實現直至成功?！?/p>

對該結果數學家們的評價

這一直是埃爾德什最喜歡的問題之一，我親耳聽過他在講座中多次提到這個問題。我認為可以公平地說，每一位從事組合幾何研究的數學家都思考過這個問題，許多其他領域的數學家也至少花過一些時間思考它……OpenAI 內部模型解決這個問題，在我看來是一項杰出成就，解決了一個長期懸而未決的開放問題。正確答案并非 n1???1?，這一點令人驚訝，而該構造及其分析以優雅巧妙的方式運用了代數數論中相當高深的工具。 ——諾加?阿?。∟oga Alon）

毫無疑問，單位距離問題的解決是人工智能數學的一座里程碑：如果這篇論文由人類撰寫并提交給《數學年刊》，而我被要求給出快速意見，我會毫不猶豫地建議錄用。此前沒有任何人工智能生成的證明能達到這一水平。 ——蒂姆?高爾斯（Tim Gowers）

該模型的思維鏈CoT非常有趣。值得注意的是，它的絕大多數思路都在嘗試構造一個反例，推翻廣為接受的上界，而非試圖證明它。這表明該模型兼具良好的直覺、愿意嘗試學界認為希望渺茫的方法，以及傾向于嘗試構造的特質…… 在我看來，這篇論文表明，當前的人工智能模型不再僅僅是人類數學家的助手 —— 它們能夠產生原創且巧妙的想法，并將其付諸實現直至成功。 ——阿魯爾?尚卡爾（Arul Shankar）

這是一項真正令人印象深刻的工作，我會毫不猶豫地將其發表在任何期刊上。我其實也曾短暫研究過這個問題，嘗試構造反例，但未能取得進展…… 即便你明白其中原理，這個構造也相當令人望而生畏，自己動手嘗試則更加困難。 ——雅各布?齊默爾曼（Jacob Tsimerman）

此前已知的、由縮放正方形網格構造的大量單位距離示例

圖源：OpenAI 官網

單位距離問題

設 u?為平面上 n 個點中單位距離點對的最大可能數量。容易構造出達到線性增長速率的例子：將 n 個點排成一條直線可得到 n?1 個點對，而正方形網格可得到約 2n 個點對。此前已知最優的構造來自縮放正方形網格，結果能得到更多：n1?????? ??????，其中 C 為常數。由于 log log (n) 隨 n 趨于無窮，指數中的附加項趨于 0，這意味著這些構造的增長僅略快于線性。數十年來，人們普遍認為這一速率基本是最優的，沒有構造能顯著優于正方形網格。用專業術語說，埃爾德什猜想其上界為 n1???1?，其中附加項 o(1) 表示隨 n 趨于 0 的項。

我們的新結果證偽了這一猜想。更確切地說，對無窮多個 n 值，該證明構造出 n 個點的構型，其單位距離點對至少為 n1??，其中 δ>0 為固定指數。（原始人工智能證明未給出顯式 δ，但普林斯頓大學數學教授威爾?索溫（Will Sawin）即將發表的改進結果表明可取 δ=0.014。）

了解該問題的歷史有助于理解為何這一結果令人驚訝。自埃爾德什1946年最初構造以來，已知最優下界基本沒有變化。最優上界 O(n??3) 可追溯至1984年斯賓塞（Spencer）、塞梅雷迪（Szemerédi）和特羅特（Trotter）的工作，盡管后來塞凱伊（Székely）、卡茨（Katz）、西利爾（Silier）、帕奇（Pach）、拉茲（Raz）、索利莫斯（Solymosi）等人做出了改進與相關結構研究，上界基本保持不變。作為支持該猜想的證據，馬圖謝克（Matou?ek）以及阿隆-布奇奇-紹爾曼（Alon-Buci?-Sauermann）研究了平面上非歐氏距離的情形，并證明 “大多數” 這類非歐氏距離在某種意義下滿足該猜想。

令人意外的是，該構造的關鍵要素來自數學中一個截然不同的領域 —— 代數數論，該領域研究整數擴張（即代數數域）中的因子分解等概念。

在驗證初始證明后，我們測試了模型在不同測試時計算量下解決該問題的成功率。結果如下所示。

代數數論衍生的全新方法

從整體層面來看，該證明以經典幾何思路為起點，將其拓展至出人意料的研究方向。

埃爾德什最初得出的下界可以借助高斯整數理解，高斯整數的形式為 a+bi，其中a、b均為整數，i為?1的平方根。高斯整數是普通整數的拓展數系，和整數一樣具備素因數唯一分解等性質。這類由整數或有理數拓展而來的數系統稱為代數數域。本次全新論證不再使用高斯整數，轉而采用代數數論中結構更復雜、對稱性更豐富的拓展數系，以此構造出數量更多的單位長度差值。

具體論證過程運用無限類域塔（infinite class field towers）、戈洛德-沙法列維奇（Golod–Shafarevich）理論等工具，證實推導所需的數域真實存在。這些理論概念早已被代數數論研究者熟知，但這類理論能夠應用于歐氏平面幾何問題，著實出乎學界意料。

該成果對數學領域的意義

此次突破是人工智能與數學交融發展進程中的重要節點，人工智能系統獨立攻克了前沿數學領域懸置已久的開放性難題，也初步展現出人機協同研究的全新模式。外部數學家后續補充完善的研究內容，相比原始解題結論，進一步豐富了成果內涵。

托馬斯?布魯姆（Thomas Bloom）在配套評述文章中這樣寫道：

“評判AI人工智能推導證明的價值與影響力時，我常會思考：這項成果是否讓我們對問題產生全新認知？我們對離散幾何的理解是否得以深化？我認為答案是肯定的。該研究表明，數論構造方法對此類幾何問題的解釋力遠超以往認知，且解題所需用到的數論理論具備極高深度。毫無疑問，未來數月內，眾多代數數論學者都會以此為參考，重新審視離散幾何領域其余未解難題?！?/p>

此次解題過程發掘出代數數論與離散幾何之間未曾被發現的關聯，這也是該成果備受關注的原因。它不僅推翻了一項具體猜想，還為數學家搭建起研究橋梁，助力探索更多相關問題。

布魯姆還提出了更為宏觀的設想：

“人類知識的邊界參差多元，未來數年，人工智能還將在數學諸多分支領域再創佳績。借助人工智能發掘學科間隱秘關聯、極致運用現有理論工具，諸多長期未解的難題都有望迎來解答。人工智能正助力人類全面探索數百年積淀而成的數學體系，這片領域中，還有多少未知奧秘靜待發掘？”

該成果具備典型參考價值，人工智能不再只是單純給出解題答案，還能夠完成數學層面的創新發現，而人類學者的后續解讀，會不斷挖掘并豐富成果的深層價值。

成果的重要價值

這項突破的影響遠超單一數學結論本身。不斷精進的數學推理能力，能夠讓人工智能成為實力更強的科研協作伙伴。它可以梳理復雜的邏輯脈絡，串聯不同學科的理論思想，發掘專家未曾重點關注的可行研究方向，協助科研人員攻克復雜度高、耗時久的疑難問題。

這類能力的應用范疇并不局限于數學領域。倘若模型可以維持復雜論證邏輯自洽、打通跨領域知識體系，產出經得起專業核驗的研究成果，那么相關能力同樣適用于生物、物理、材料科學、工程以及醫學領域。這也是科研自動化發展的長遠方向，智能系統能夠幫助科研人員拓展研究思路，攻克技術難度更高的課題。

人工智能即將深度參與科研創新工作，人工智能自身領域的研究也同樣如此。雖然這類技術進步符合發展預期，但也讓各界愈發重視人工智能下一階段的發展探索、高智能系統的對齊難題，以及人機協作的未來形態。

人機協作的發展始終離不開人類的判斷決策，專業能力的價值只會愈發凸顯。人工智能可完成思路檢索、方案提議與結果核驗工作，而人類負責選定核心研究課題、解讀研究結論，并規劃后續探索方向。

采訪視頻畫面

我認為此刻意義非凡，這是人工智能首次實打實攻克一道知名未解數學難題。

這是首個由人工智能取得的數學突破。該問題是組合幾何領域最具知名度的難題，堪稱這一分支里最受關注的未解題目。

我最初看到模型輸出的結果時，壓根不敢相信。我花了許久通讀內容，梳理整體思路，心里直呼難以置信，覺得這件事美好得不太真實。

我們隨后用諸多學界熱議的難題對模型進行測試，出乎意料的是，它成功解答了其中一道核心難題。這是一道平面點位基礎幾何問題，但其解法用到了代數數論的高深理論。

此前學界普遍認為原有構造方案已是最優水準，而我們的模型證明該方案仍有大幅優化空間。這套解題思路人類難以落地執行，推導過程中需要做出大量精細抉擇。人工智能能夠全面遍歷各類可能性，最終找到了可行的解題路徑。

我完全震驚，最初幾晚甚至難以入眠。

雖說早有預判人工智能會達成這類成就，但這次突破大大縮短了預期到來的時間。這一成果印證，人工智能能夠助力科研取得突破，不僅惠及數學，也將推動工程、物理、生物、醫學等領域發展。數學發展的黃金時代已然初現曙光。

相較過往成果，這次突破實現了跨越式進步，日后也必將成為數學史上舉足輕重的里程碑。

參考資料

https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/

https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-proof.pdf

https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-remarks.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=Br4l9YjCyRU

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