一道經濟學問題，揭示了玻爾茲曼分布的唯一性

此刻，你周圍空氣中的分子正以混亂而不可預測的方式運動。為了理解這類系統，物理學家會使用一種稱為玻爾茲曼分布的定律。這一分布由奧地利物理學家兼數學家路德維希·玻爾茲曼（Ludwig Eduard Boltzmann）于19世紀下半葉提出，它并不描述每個粒子具體在哪里，而是描述系統處于各種可能狀態的概率。這使得即使單個粒子的運動是隨機的，仍然可以預測整個系統的行為。

這就像擲一枚骰子：雖無法預測單次擲出的結果，但如果一次又一次地反復投擲下去，就會出現穩定的概率分布模式。如今，玻爾茲曼分布被廣泛用于多個領域的系統建模。從人工智能到經濟學都在使用它，在經濟學中它被稱為“多項Logit”。

在一項研究中，兩名經濟學家對這一普適規律進行了更深入的研究，并從數學的角度證明了：玻爾茲曼分布是唯一能夠準確描述不相關（或不耦合）系統的定律。

不相關系統

在創建模型時，科學家常常會面對一個基本要求：模型應該只反映“真正相關”的因素，而不應把不相關的事情聯系起來。

為了把這個概念說得更直觀，我們可以用經濟學家研究人們如何在兩種麥片品牌之間做選擇作為例子。在這種例子中，他們真正想解釋的是“麥片偏好”如何受價格、口味、品牌等因素影響。如果這時，一個模型預測了消費者對某個麥片品牌的偏好，取決于他那天買了哪種洗潔精，或者去商店時穿了什么顏色的襯衫，那么研究人員就會立馬意識到——這個模型出了問題，它把本應相互獨立的部分錯誤地耦合在了一起，把一些荒謬的聯系硬扯了進來。

玻爾茲曼分布之所以長期以來被廣泛使用，其中一個重要原因就在于：它能夠對不相關（不耦合）系統保持“互不影響”的性質。然而，一個更深的問題隨之出現：是否只有這一套理論具備這種性質？是否還存在別的理論，同樣能在“加入無關部分時預測不變”的意義下，正確描繪不相關系統？

如果答案是“存在”，那么這些替代理論可能同樣適用于經濟學與物理學；但如果答案是“不存在”，那么就意味著一個更強的結論：玻爾茲曼分布并不只是“好用的工具之一”，而是在上述獨立性要求下被唯一確定的理論；相應地，多項Logit也將是唯一能夠在“不相關情境”下預測獨立選擇的經濟學模型。這正是相關研究試圖澄清并證明的核心問題。

一枚普通的骰子

在這項研究中，為了尋找可能同樣適用于“不相關系統”的其他理論，Sandomirskiy和Tamuz發展了新的方法來檢驗其背后的數學結構。Tamuz喜歡用骰子來解釋他們如何處理這個問題。

擲骰子的每一次結果都是隨機的——可能擲出1、2、3、4、5或6——這可以看作一個個體或一個物理系統的單次行為。如果投擲骰子的次數很多，那么規律就會開始浮現：從1到6的每個點數，出現的次數大約都會是1/6，這就是單個骰子的分布。

現在，如果投擲的骰子數量變成了2，那么當記錄它們的點數之和時，就會得到另一種分布。比如，擲出總和為2的概率是1/36，因為擲出2只有一種方式（1和1）；但擲出總和為8的概率是5/36，因為擲出8有五種方式（4和4、3和5、5和3、2和6、6和2）。關鍵在于：其中一枚骰子的結果并不包含關于另一枚骰子結果的信息，因為這兩枚骰子是兩個彼此無關的物理系統。

這時，回到經濟學的選麥片例子中：一枚骰子就像是其中一種麥片，另一枚骰子就像“選洗潔精”。這些隨機選擇不應相互影響。

怪異的骰子

接下來，要理解研究人員如何用這種思路檢驗玻爾茲曼分布的其他替代理論，就需要引入一對“怪異骰子”，例如西克曼骰子——西克曼骰子是一對具有非標準數字的六面骰——其中一個骰子的六面分別為1、2、2、3、3、4，另一個為1、3、4、5、6、8。

一對西克曼骰子。（圖/Caltech）

雖然這兩枚骰子的數字有別于普通骰子，但如果我們同時擲出這兩枚骰子，并且只記錄點數之和，是無法把它們與普通骰子區分開來的：就像普通骰子一樣，用西克曼骰子擲出總和為2的概率也是1/36，而擲出總和為8的概率也是5/36。換句話說，這兩種骰子在“點數之和”上的概率分布是相同的。

研究人員意識到，他們可以利用西克曼骰子背后的數學來檢驗替代理論：如果某種理論會導致“普通骰子”和“怪異骰子”在點數之和上具有相同的概率分布，那么它就通過了“能否準確描述不相關系統”的檢驗；如果兩者在點數之和上的概率分布不同（這就相當于出現了那個荒謬情形：洗潔精的選擇會影響麥片的選擇），那么該理論就失敗了。

而檢驗是否存在更多替代理論的關鍵，就在于找到除西克曼骰子之外的更多“怪異骰子”的例子。每發現一個新的“怪異骰子”的例子，就能用它來檢驗更多理論。由于可能的替代理論有無窮多種，而研究人員也成功地與之匹配了無窮多對“理論上的怪異骰子”。

數學證明

用數學的語言來說，這項研究最終可歸結為多項式：上述討論的所有分布，無論是玻爾茲曼分布還是替代理論——都可以用多項式來表示。比如，第一枚西赫爾曼骰子（六個面為1、3、4、5、6、8）可以表示為

第二枚西赫爾曼骰子（六個面為1、2、2、3、3、4）可以表示為

這兩個多項式的乘積 f(x)·g(x)仍是一個多項式，它表示“點數之和”的分布。這個分布與兩枚普通骰子的點數之和分布相同；普通骰子各自可表示為

因此，h(x)·h(x)與f(x)·g(x)是相同的。

這種數學表達正對應了“不相關系統的獨立性”。

最終。研究人員構建出了一份數學證明，排除了所有替代理論，并表明：在科學中被持續使用了一百多年、久經檢驗的玻爾茲曼分布，是唯一真正可行的那一個。

#參考來源：

https://link.springer.com/article/10.1007/s00208-025-03263-x

https://www.caltech.edu/about/news/economics-puzzle-leads-to-a-new-understanding-of-a-fundamental-law-of-physics

#圖片來源：

封面圖&首圖：Caltech