2026數學教育講座系列第3講——伍鴻熙教授講述何為學校數學——EMS歐洲數學會

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本期第3講，伍鴻熙（Hung-Hsi Wu）教授批判美國教材式數學教育的缺陷，提出基于原則的學校數學理念（PBSM），強調數學完整性與適配學生認知，分享教材編寫與教師培訓經驗，探討改革路徑與 AI 影響。

作者：EMS（歐洲數學會）2026-3-13

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-3-21

主持人：

各位來賓，歡迎來到歐洲數學會（European Mathematical Society, EMS）“數學教育” 系列講座的第三講。本周五晚，我再次擔任主持人，明天就是一年中最值得慶祝的日子 ——3月14日圓周率日，在這個激動人心的前夜，我們將開啟一場精彩的講座，共同探討數學領域的各類話題，尤其是數學教育相關內容。

本系列講座在今天之后還有三場，本次是六講中的第三講。下一場講座將于4月10日舉辦，后續還會有5月場和6月場。完整日程安排將發布在本次直播的簡介欄中。

請允許我簡單自我介紹一下。我是湯姆?克勞福德博士（Dr. Tom Crawford），任職于牛津大學和劍橋大學，是一名數學家。大家或許也在 YouTube 平臺上見過我 —— 今天我特意穿上了印有 YouTube 標識的外套，就是為了更貼合這次活動的氛圍。我運營著一個名為 “湯姆玩轉數學”（Tom Rocks Maths）的頻道，專門分享各類數學相關內容。（詳見第二講中的介紹：）

在介紹主講嘉賓之前，我想先提一下歐洲數學會。一如既往，感謝該組織以及所有抽出時間承辦本系列講座的工作人員。相信大家都會認同，我們此前開展的討論十分精彩，后續的交流也必將同樣引人入勝。如果大家想了解更多關于歐洲數學會的信息，我們會在聊天框和直播簡介欄中附上相關鏈接，內容包括學會的業務范圍、入會方式、參與途徑，以及未來協助我們組織更多系列活動的相關說明。

與前幾場講座一樣，本次講座結束后也會設置問答環節。如果大家有問題想要提問，有兩種方式可以選擇。我更推薦大家通過谷歌表單提交問題，這樣我能更方便地整理這些問題，明確哪些已經討論過、哪些還沒有。該表單的鏈接同樣會發布在聊天框和直播簡介欄中。當然，直接在聊天框里留言提問也是可以的，我的手機一直開著聊天界面。所以，想到任何問題都請隨時提出，我們會在問答環節逐一解答。

好了，這些前期準備事宜就說到這里。現在，讓我們隆重請出今晚的主講嘉賓。

伍鴻熙（Hung-Hsi Wu）

伍鴻熙（Hung-Hsi Wu）教授的專業研究方向是微分幾何，他于1965年至2009年在加州大學伯克利分校任教，長達44年，目前是該校的榮譽退休數學教授。

根據他的個人履歷，有一件事我覺得非常有意思：1992年，伍鴻熙教授目睹了數學教育改革的現狀，深受觸動，于是下定決心要為推動數學教育變革貢獻力量。他近期的研究項目聚焦于改進職前與在職數學教師的職業發展體系，同時在數學教育領域著述頗豐。

今天，他將為我們帶來題為《何為學校數學》的講座。伍教授，接下來就交給您了。

伍鴻熙：

非常感謝您的介紹。今天，我要探討一個看似平淡無奇的問題 —— 何為學校數學？

接下來的一個小時里，我將主要圍繞美國的學校數學教育展開探討。很抱歉，我對其他國家的學校數學教育體系了解有限，但我認為，在全球化的大背景下，美國的經驗未必是個例，希望這不會成為太大的問題。無論如何，我都期望我的分享能夠引發大家對各國學校數學教育的廣泛討論。

談到學校數學教育，想必大家首先會想到費利克斯?克萊因（Felix Klein）。他曾深入思考過一個被他稱為 “雙重斷層” 的現象 —— 也就是學校數學與大學數學之間的斷層，以及大學數學反哺學校數學時出現的斷層。按理說，克萊因應該會對學校數學的本質有一些獨到見解。但遺憾的是，他對此并未過多論述，只留下了這樣一句話：“倘若我們能培養出更優秀的教師，那么數學教學質量自然會得到提升，傳統的教學模式也會被注入新的活力。”

換句話說，他信奉美國人所說的 “涓滴理論”（Trickle-Down Effect）—— 只要教師足夠優秀，學校數學教育水平就會自然而然地提高。這種觀點或許有些天真。因此，我們不得不主動探尋，盡最大努力解答 “學校數學究竟是什么” 這個問題。

乍一聽，這個問題似乎有些可笑。畢竟，我們似乎都知道學校數學包含哪些內容 —— 無非是在學校里學習算術、代數、幾何等等。但這個問題之所以值得深入探究，主要有三個原因。

首先，至少在過去的七十年里，甚至更久，美國學校里教授的數學，從本質上來說是難以被學生真正理解和掌握的。如果我們將學校里正在教授的內容等同于學校數學，那難道意味著學校數學本身就天生難以學習嗎？我們必須弄清楚，究竟是什么原因導致了這種 “難學” 的現狀。

其次，一個廣為人知的事實是，1989年，美國全國數學教師委員會（NCTM）發起了第一次數學教育改革；2010年，“共同核心標準” 改革也隨之啟動。據我所知，這兩次改革在全球范圍內都具有相當高的知名度，甚至對其他國家的數學教育產生了影響。這兩次改革的初衷，都是為了改變那種難以被學生掌握的數學教學模式，并且提出了一種他們認為更優的學校數學理念。然而，他們僅僅是勾勒出了這個 “更優版本” 的大致框架，卻未能證明這種理念在實際教學中是否真的能夠落地生根。

比如，1516年，托馬斯?莫爾（Thomas Moore）在著作中描繪了 “烏托邦” 的藍圖，但時至今日，這樣的理想社會在現實中仍未出現。那么，這兩次數學教育改革提出的理念，會不會也只是教育領域的又一個 “烏托邦” 呢？（笑聲）

最后，也是最顯而易見的一個原因：如果一種數學知識連美國人都難以理解和掌握，那它根本就不配成為教育研究的對象。但遺憾的是，當前美國的數學教育研究，恰恰只圍繞著這種 “難學的數學” 展開。因此，我們必須想辦法將這種脫離實際的數學內容從教育研究中剔除出去。

接下來，我們先分析一下這種 “難學的數學” 的癥結所在。

想必大家都有體會，在日常對話中，只要一提到 “數學” 兩個字，往往會引發兩種令人遺憾的反應：一種是自卑心理 ——“唉，我數學一直不好”；另一種則是恐懼心理 ——“我最討厭數學了”“我根本不是學數學的料”“咱們還是別聊這個話題了”。

2012年，《紐約時報》上甚至刊登了一篇頗具爭議的評論文章，提議將代數移出高中畢業的必修科目。這個提議雖然有些極端，但也從側面反映出數學在美國的 “不受歡迎” 程度。

那么，究竟是什么原因讓數學引發如此強烈的負面反應呢？

為了更精準地分析問題，我們暫且不把這種數學稱為 “學校數學”，而是將其定義為美國大多數主流數學教材中所呈現的內容，并稱之為教材式學校數學（Textbook School Mathematics,TSM）。下面，我們就來剖析一下 TSM 的問題所在。

簡而言之，TSM 之所以難以被學生掌握，主要有三個原因：

第一，TSM 中的定義大多含糊不清。試想，如果一個數學概念的定義本身就模棱兩可，學生又怎么可能明白自己要學的是什么呢？這無疑是教學中的一大致命缺陷。

第二，TSM 并非通過邏輯推理構建知識體系，而是堆砌了大量孤立且缺乏解釋的解題步驟，就像一本烹飪食譜 —— 只告訴你 “第一步做這個，第二步做那個”，卻不解釋為什么要這么做。但遺憾的是，人類的大腦對于記憶這些孤立、零散的 “操作步驟” 的能力是極其有限的，這也是學生難以學好數學的重要原因。

第三，TSM 在知識的表述上往往不夠嚴謹，無法準確地向學生傳遞核心內容。這顯然也是一個亟待解決的關鍵問題。

為了方便后續討論，我們可以將導致 TSM 難以學習的這三個特征，用一個短語來概括 ——缺乏數學完整性。

這里所說的 “完整性”，本質上就是上述三個缺陷的對立面。當然，稍后我會給出 “數學完整性” 的準確定義。

下面，我舉三個具體的例子來進一步說明 TSM 的問題。

第一個例子，是整數的四則運算標準算法。

在美國的小學教育中，一到四年級的學生學習加減乘除的標準算法時，往往都是死記硬背，幾乎沒有任何邏輯推理的講解，完全是照著 “食譜” 機械操作。這種教學方式對孩子的危害極大 —— 它從一開始就讓孩子誤以為，數學學習就是死記硬背公式、聽從老師的指令，根本不需要主動提問和思考。

但事實上，數學的核心恰恰是邏輯推理，沒有推理，數學就失去了靈魂。

可能很多人都沒有意識到，整數四則運算的標準算法之所以值得學習，是因為它們有一個非常重要的作用：將所有整數運算都拆解為單個數字的運算。換句話說，無論兩個整數有多大 —— 哪怕是 25 位數的大數，只要運用這些標準算法，都能把復雜的運算簡化成一位數的加減乘除。這是一個非常了不起的設計！

如果美國公眾能夠認識到這一點，那么關于 “為什么孩子必須背誦乘法口訣表” 的爭論，就不會一直持續到今天了。如今在互聯網上，依然有很多人在爭論 “我的孩子為什么非要背乘法口訣”。答案其實很簡單：乘法口訣是所有整數乘法運算的基礎。連這一點都沒能普及，足以看出幾十年來美國學校數學教育的落后程度。

這其中蘊含的，是科學研究的基本原理 ——化繁為簡。這是所有科學領域的核心思想。如果孩子們能從小就理解并掌握這一原理，將會為他們未來的學習和生活打下堅實的基礎。

第二個例子，是TSM 教學的不透明性，我們以分數教學為例。

TSM 要教學生認識分數，卻沒有給出清晰的定義。它告訴學生，分數 “可以是一個整體的一部分”“可以是一塊披薩的份額”，或者 “可以是一個比值”。

我們不妨仔細推敲一下這些說法：“一個整體的一部分”—— 對于孩子來說，“部分” 和 “整體” 這兩個概念本身就很模糊，它到底指的是一個具體的物體，還是一種抽象的關系？“分數是一塊披薩”—— 那當我們提到 “2/3 英里” 時，披薩又在哪里呢？根本無從對應。“分數是一個比值”—— 但事實上，沒有哪個孩子在學習分數之前，真正理解 “比值” 的含義。用一個更難懂的概念去解釋另一個概念，這簡直是教育的笑話。

更糟糕的是，有時候 TSM 會把這三種說法混為一談，告訴學生 “分數同時具備這三種含義”。這就導致分數的概念變得更加晦澀難懂 —— 相當于把一個模糊的概念，又疊加了兩層模糊的解釋。

最要命的是，TSM 在沒有讓學生搞懂 “分數到底是什么” 的情況下，就立刻讓學生開始大量練習分數的計算。試想，當學生被迫去計算一個自己完全不理解的 “神秘對象” 時，怎么可能不產生恐懼心理？

在美國，學生對分數的恐懼是一個普遍現象，甚至在全球知名的兩部連環漫畫《花生》和《福克斯通》中，都多次出現過學生抱怨 “學習分數太難” 的情節。這足以見得分數教學的失敗。

我們之所以如此關注分數學習的問題，是因為分數是孩子在數學學習中遇到的第一個真正意義上的抽象概念。學習整數時，孩子可以通過數手指來理解 —— 至少能直觀地認識 1 到 10。但分數不一樣，誰見過 “5/11” 這個數字對應的具體物體？在現實世界中根本找不到。

正因為分數的抽象性，要讓學生真正理解它，就必須用學生已經掌握的知識去解釋。但 TSM 卻反其道而行之，用更加抽象、模糊的概念去定義分數，這無疑是一種失敗的教育。

由于時間關系，我暫且跳過第三個例子，

我們來看下一個問題 ——美國高中幾何課程的詬病。

我不知道其他國家的幾何教學是否存在類似的問題，但在美國，高中幾何課程是導致學生產生 “數學恐懼癥” 的主要原因之一，它嚴重阻礙了學生的數學學習進程。我從兩個方面來分析它的危害。

首先，在幾何教學中，必然會涉及圖形的 “全等” 和 “相似” 概念。比如，我們會說 “兩個圓是相似的”“兩個橢圓是相似的”。TSM 對這兩個概念的定義是：“全等就是形狀和大小都完全相同”，“相似就是形狀相同，但大小不一定相同”。

這個定義聽起來似乎很直觀，但數學追求的是客觀真理，而非主觀感受。“這兩個圖形的形狀相同嗎？”—— 這種判斷完全依賴于人的主觀直覺，根本不應該成為數學定義的依據。但 TSM 卻恰恰這樣定義了 “全等” 和 “相似”。

不過，我想重點討論的不是定義的缺陷，而是這門課程對數學教育的破壞性影響。

在學習高中幾何課程之前，學生在低年級接觸到的 “全等” 和 “相似” 概念，都被簡單地定義為 “形狀和大小的關系”。但到了高中幾何課上，這些概念卻被完全推翻，重新定義 —— 而且只針對三角形：它會精確地告訴你，“兩個三角形全等的判定條件是對應角相等、對應邊相等”，“兩個三角形相似的判定條件是對應角相等、對應邊成比例”。

這就會讓學生產生巨大的困惑：之前學的 “形狀相同、大小相同” 的定義去哪里了？如果這個定義不適用，那對于拋物線、橢圓等其他圖形，又該如何判斷它們是否全等或相似？對于這些問題，TSM 沒有給出任何解釋，完全是一種不負責任的教學。

其次，高中幾何課程帶來的第二個破壞性影響更為嚴重。

在學習這門課程之前，TSM 的教學幾乎從不涉及 “證明”。正如我之前提到的，它沒有任何邏輯推理，也不會解釋知識的來龍去脈。但到了高中幾何課上，卻突然要求學生把 “證明” 當作頭等大事來對待 —— 哪怕是一個極其簡單的結論，都必須寫出嚴謹的證明過程。

這種突如其來的轉變，讓學生完全摸不著頭腦：為什么突然要學證明？之前的數學學習從來沒有要求過啊？對于這些疑問，TSM 依然沒有給出任何解釋。

為了讓大家更直觀地感受到這種教學的荒謬，我舉一個例子：

已知四個點依次排列，線段 AB 和線段 CD 的長度相等，要求證明線段 AC 和線段 BD 的長度相等。

就是這樣一個顯而易見的結論，在高中幾何課上，卻要求學生寫出一個包含七步的 “兩欄式證明”—— 左邊寫證明步驟，右邊寫對應的依據。而且，教學的重點根本不是引導學生理解背后的邏輯推理（事實上這個結論幾乎沒有什么需要復雜推理的地方），而是強迫學生按照固定的格式去 “填表格”。

最終，學生從這門課程中學到的不是 “證明是邏輯推理的過程”，而是 “證明就是按照規定的格式填空”。這無疑是對數學精神的嚴重背叛，也是導致學生對數學產生恐懼的重要原因。

綜上所述，TSM 對孩子的數學學習造成了極大的傷害，它必須被淘汰 —— 這個結論是顯而易見的。但問題是：如果拋棄了 TSM，我們應該用什么來取而代之？

這正是我們提出 “何為學校數學” 這個問題的根本原因。長期以來，美國人從未認真思考過這個問題。但在過去的70年里，先后有三次數學教育改革，開始嘗試直面這個問題。

最早的一次改革是1957年的 “新數學運動”，想必很多國家都經歷過這場改革；之后是1989年著名的 NCTM 改革；最后是2010年的 “共同核心標準” 改革。

這三次改革都試圖提出一種他們認為優于 TSM 的替代方案。接下來，我們將簡要分析這三次改革，通過分析，大家會更深刻地認識到：搞清楚 “何為學校數學”，是一件多么迫切且重要的事情。

要分析這三次改革，我們首先需要明確學校數學教育的兩個基本要求：

第一，數學內容必須符合數學完整性的要求—— 也就是具備清晰的定義、嚴謹的邏輯推理、準確的表述等特征，這與 TSM 的缺陷正好相反。畢竟，我們教的是數學，內容必須符合數學的本質，而不能是違背數學規律的 “偽數學”。

第二，教學內容的呈現方式必須符合學生的認知水平，讓學生能夠理解和接受。這是一個顯而易見的要求。

由此可見，學校數學教育需要在這兩個要求之間找到平衡 —— 這是一種看似矛盾，實則相輔相成的約束。如果無法滿足這兩點，就不能稱之為合格的學校數學教育。

明確了這兩個要求，我們就能更清晰地看清 TSM 的本質：TSM 完全無視第一個要求（數學內容的完整性），卻片面地追求第二個要求（所謂的 “易理解性”）。

為了讓學生 “能學會”，TSM 不惜簡化甚至歪曲數學知識 —— 砍掉所有的邏輯推理，把知識拆解成一個個孤立的解題步驟，然后讓學生死記硬背。這就是 TSM 的核心本質。

TSM 在美國學校中占據主導地位的局面，直到 1957 年才被打破 —— 那一年，蘇聯發射了第一顆人造衛星 “斯普特尼克號”，這一事件震驚了整個美國。

美國聯邦政府迅速做出反應，呼吁開展學校數學教育改革，“新數學運動” 由此拉開序幕。這場改革的主導者是數學家，而數學家的做法與 TSM 恰恰相反 —— 他們只關注第一個要求（數學內容的完整性），卻忽視了第二個要求（學生的認知水平）。

我們不妨將專業數學家研究和使用的數學稱為 “大學數學”。一個巧合的是，到1930年左右，大學數學已經發展得相當成熟，形成了一套邏輯嚴密、高度透明且體系完整的知識體系。

因此，在1950年代，當數學家主導學校數學教育改革時，他們自然而然地想到了一個簡單的辦法：將大學數學中的基礎內容直接移植到中小學課堂中。

這場改革的結果，想必大家多少都有所耳聞。在美國，小學生突然被要求學習集合論 —— 這是他們之前從未接觸過的概念；還要學習不同進制的數字，比如三進制、五進制、七進制；區分 “數字符號” 和 “數字本身” 的概念；甚至還要學習抽象的模算術。

更離譜的是，小學生還要學習基礎的符號邏輯。

平心而論，數學家們確實試圖簡化這些抽象的概念和形式化的表達，還專門編寫了一套從幼兒園到高中 12 年級的教材。但即便如此，這些內容對于中小學生來說，依然是遙不可及的 “天書”—— 不僅學生學不懂，家長也完全無法輔導，就連老師都難以掌握。

最終，“新數學運動” 未能在美國落地生根，到1970年代初就徹底銷聲匿跡了。

回顧一下我們之前提到的兩個基本要求，我們會發現：TSM 和 “新數學運動” 都走向了極端 —— 前者片面追求 “易教易學”，后者片面追求 “數學嚴謹性”，最終都以失敗告終。

這說明，我們需要一種全新的思路來構建學校數學教育體系。這種新思路，我稱之為數學工程化—— 也就是將抽象的數學知識，轉化為符合現實教學需求的內容。

“工程化” 的核心，就是根據特定群體的需求，對抽象概念進行定制化改造。比如，電子工程就是將抽象的電磁理論，轉化為我們日常生活中可以使用的手機、電腦等電子產品。

我們要做的，就是將 “工程化” 的思路應用到大學數學中，把抽象的大學數學知識，轉化為中小學生能夠理解和接受的內容。

舉個例子：在大學數學中，有理數域的定義是 “整數環的分式域”。這個定義對于中小學生來說，無疑是天書。但通過數學工程化，我們可以這樣解釋：

首先，在一條固定的直線上，標記出等距的點，這些點就代表整數 —— 這就是我們常說的 “數軸”。然后，將任意兩個相鄰整數之間的線段，平均分成若干份，每一份對應的點，就是分數。比如，把相鄰整數之間的線段平均分成 5 份，那么這些分點就代表了所有分母為 5 的正分數和負分數。

這樣一來，抽象的有理數概念，就變成了學生可以直觀理解的 “數軸上的點”。

需要強調的是，數學工程化必須完全忠于抽象的數學理論，否則就會導致嚴重的問題。基于這個原則，數學工程化后的內容，必須符合我們之前提到的 “數學完整性” 的要求。

之前我并沒有給出 “數學完整性” 的準確定義，現在是時候了。

一套學校數學教育體系，如果滿足以下五個原則，就可以稱之為具備數學完整性：

1. 定義清晰性

每一個數學概念都有精準的定義，讓學生明確知道自己學習的對象是什么。

1. 邏輯嚴謹性

   每一個數學結論都有嚴密的邏輯推理作為支撐，讓學生理解結論背后的原理。

2. 
   
3. 表述準確性

   語言表述精準無誤，避免產生歧義。

5. 體系連貫性
   

1. 整數、分數、有理數、代數、幾何等不同模塊的知識，不是孤立存在的，而是構成一個有機的整體，彼此之間存在緊密的邏輯聯系。

3. 目標明確性

   數學的每一個概念、每一項技能的引入，都有明確的目的，讓學生明白 “為什么要學”。

對照這五個原則，我們會發現，TSM 幾乎完全違背了所有原則：

• 概念定義模糊不清；

• 沒有任何邏輯推理（比如，長除法的豎式計算中，為什么商要寫在上面，余數要寫在下面？TSM 從未給出解釋）；

• 表述極不嚴謹（比如用 “形狀相同” 定義全等和相似）；

• 知識體系支離破碎（高中幾何與低年級幾何教學完全脫節，就像一個突兀的 “腫瘤”）；

• 教學目標不明（學生問 “為什么要學整數四則運算的標準算法”，TSM 無法給出合理的答案）。

我將這種既符合數學完整性要求，又適應學生認知水平的學校數學教育體系，稱為基于原則的學校數學（Principle-Based School Mathematics,PBSM）。

不過，PBSM 目前還只是一個理論上的構想。我們希望構建這樣一種體系，但它真的能實現嗎？我們能否制定出一套完整的方案，詳細說明如何在實際教學中落地？這些都是未知數。

而這，也正是1989年的 NCTM 改革和2010年的 “共同核心標準” 改革試圖解決的問題。

從本質上來說，這兩次改革的目標與 PBSM 是一致的 —— 雖然當時他們還沒有提出 TSM 和 PBSM 的概念，但他們都希望建立一種更優的學校數學教育體系。

這兩次改革都屬于 “基于標準的改革”，這種理念最早源于1983年的一份名為《國家處于危險之中》的報告。該報告提出，要改革學校教育，只需要制定一套 “教育標準”—— 也就是明確每個年級應該教授哪些內容、按照什么順序教授的簡要大綱。

改革者們希望，學校只要遵循這套標準，就能實現數學教育的目標 —— 也就是他們所說的 “概念理解、問題解決、知識連貫、邏輯推理與證明”。

相較于 NCTM 改革，“共同核心標準” 改革還額外強調了 “運算熟練度” 和 “清晰定義” 的重要性。

這些理念聽起來非常美好，也符合所有人對數學教育的期待 —— 誰不希望學生能夠理解概念、解決問題、掌握邏輯推理呢？從這個角度來說，這兩次改革與 PBSM 的目標是完全一致的。

但問題在于，改革者們錯誤地認為：PBSM 的理念聽起來很完美，所以它一定已經存在于現實中，只要我們制定出標準，學校照著做就能實現。

但事實并非如此。

正如我之前所說，教育標準只是一份簡要的大綱，它只能勾勒出教學的大致方向，卻無法提供具體的實施細節。

“概念理解”“知識連貫”“邏輯推理”—— 這些詞語固然美好，但如何在實際教學中實現？這才是改革的核心問題。

當一線教師和教育工作者們滿懷熱情地試圖落實這些標準時，卻發現自己陷入了困境 —— 他們缺乏足夠的數學知識儲備，根本無法理解改革的真正內涵；改革者們也沒有提供具體的實施指南，比如：

• 如何為教師提供符合 PBSM 要求的專業培訓？

• 如何編寫基于 PBSM 理念的教材，取代現有的 TSM 教材？

• 如何設計符合 PBSM 要求的評價體系？評價人員是否具備相應的數學素養？

這些關鍵問題，改革者們都沒有給出答案。

因此，這兩次改革要想取得成功，首要前提是制定出一套完整、詳細的 PBSM 實施方案，為教師、教育管理者等提供明確的指導。只有這樣，才能讓改革的理念真正落地。

但遺憾的是，這樣的實施方案在當時并不存在。

從理論上來說，專業數學家完全有能力編寫這樣一套 PBSM 實施方案 —— 他們擅長從無到有地構建一個完整的知識體系。當然，要做到這一點，數學家們需要花費大量時間研究現有的 TSM 教材，明確需要規避的問題；同時，他們也需要放下身段，深入了解中小學課堂的教學實際 —— 畢竟，中小學教育與大學教育有著天壤之別。

盡管從理論上可行，但在當時，并沒有數學家愿意去做這件事。

于是，在2000年，我決定接受這個挑戰，嘗試編寫一套 PBSM 實施方案。當時我并不知道，十年后會迎來 “共同核心標準” 改革。

到2020年，也就是六年前，我終于完成了一套涵蓋從幼兒園到高中 12 年級的 PBSM 教材，總共六卷，長達 2400 頁。這套教材由美國數學會出版，最初是我為教師職業培訓課程編寫的講義。

其中，第一卷面向小學教師，第二、三卷面向初中教師（涵蓋預備代數和代數內容），最后三卷面向高中教師。

這套教材的最大價值在于，它首次證明了 PBSM 并非虛無縹緲的 “烏托邦”，而是一套可以落地的、邏輯嚴密的知識體系。

接下來的問題，就是如何將這套體系推廣到實際的教學中 —— 這無疑是一個耗時又耗力的艱巨任務。由于時間關系，我無法展開細說，但我希望這套教材能夠引發大家的討論：

• 它真的符合數學完整性的要求嗎？

• 它真的適合學生學習嗎？

• 在人工智能時代，人們還需要學習這樣的數學知識嗎？

這些是值得深思的問題。我也希望能出現更多不同版本的 PBSM 方案 —— 只有通過不斷的討論和競爭，我們才能最終形成一套公認的、最優的 PBSM 體系，并將其作為學校數學教育的標準模式。

到那時，我們才能真正說，學校數學教育取得了實質性的進步。

在剩下的幾分鐘里，我們回到最開始提出的三個問題。前兩個問題我們已經討論過了，現在來看第三個 ——關于學校數學教育研究的問題。

TSM 在美國學校中占據主導地位長達數十年，這也導致它壟斷了美國的數學教育研究領域 ——TSM 成了教育研究唯一的關注對象。但我們都知道，TSM 本身是存在嚴重缺陷的。

如果教育研究只能圍繞著一種有缺陷的數學體系展開，會導致什么后果？

首先，這種研究的價值會大打折扣。研究者們明明知道 TSM 不好，卻只能在現有的框架內做一些修修補補的工作 —— 比如，如何通過引入一些概念理解和邏輯推理，讓 TSM 變得稍微 “易接受” 一些。這種研究，從本質上來說是徒勞無功的。

其次，這種研究會變相賦予 TSM 合法性。當 TSM 成為教育研究的核心對象時，教師和學生都會產生一種錯覺：TSM 雖然不好，但它是唯一的選擇，我們只能接受它。這無疑是一種非常糟糕的導向。

從這個角度來說，1989年的 NCTM 改革具有不可忽視的意義 —— 它是首次由數學教育領域的內部人士發起的、對 TSM 的反抗。我希望，我們能夠通過不懈的努力，最終讓 TSM 徹底退出歷史舞臺，為這場反抗畫上一個圓滿的句號。

最后，我想用一句話來回答本次講座的核心問題 —— 何為學校數學？

我認為，學校數學應該是 PBSM（基于原則的學校數學）。

謝謝大家。

主持人：

太精彩了！我也對美國的數學教育體系有了更深入的了解，您的分享真的非常有價值。正如您所說，雖然您討論的是美國的情況，但我發現其中很多理念和問題 —— 比如您提到的 “教材式學校數學”—— 在英國、歐洲乃至世界其他地區的數學教育中，都有著相似的影子。所以，您的分享對于我們來說，同樣具有重要的借鑒意義。

接下來，我們進入Q&A問答環節。我看到聊天框里已經有一些問題了，谷歌表單里也收到了不少提問。

我先從表單里選一個問題開始吧，這個問題我覺得非常有代表性。

Q：伍教授，您在講座中提到了 PBSM（基于原則的學校數學），還舉了有理數的例子 —— 大學數學中用環和域的概念來定義有理數，這種定義顯然不適合中小學生，而您通過數軸的方式，把抽象的概念變得直觀易懂。所以想請教您，這些巧妙的講解思路是從哪里來的？您是如何把專業的數學定義，轉化為中小學生能夠理解的內容的？這個過程具體是怎樣的？

A：這是一個很難回答的問題，我只能和大家分享一下我的個人經驗。

首先，這需要付出大量的努力。其次，我經常和一線教師交流，還會去課堂上聽課，了解孩子們的學習特點和認知規律，學會站在孩子的角度思考問題，而不是從一個專業數學家的視角出發。

除此之外，我還想補充一點：雖然我是一名專業數學家，但從情感上來說，我更愿意把自己看作一名教育工作者。我一直對 “人是如何學習的” 這個問題充滿興趣，總是在思考，如何才能更好地把知識傳遞給他人。

所以，我覺得，如果沒有這種想要 “走近學生、理解學生” 的初心，可能很難做好這件事。

Q：這個問題還有一個延伸提問，同樣來自表單。您剛才提到，您會和教師交流，也會去課堂聽課。那么，您是否有機會將這些講解思路，在實際教學中進行檢驗呢？也就是說，您編寫的這六卷教材中的理念，有沒有在課堂上得到過實踐驗證？

A：當然，而且是經過了充分的驗證，不過是間接驗證。

從2000年到2013年，我連續14年為教師開展培訓。培訓形式主要是三周的暑期研習班 —— 參加培訓的教師都是有薪酬的，并非志愿者（費用由基金會提供）。在這三周里，每天從早上9點到下午5點，我們都在學習數學知識。我負責授課，還有助教協助答疑，課后還會和教師們深入交流。

那段時間我還沒有退休，同時還在大學里為未來的高中數學教師授課。我會直接和他們溝通，經常問他們：“這個知識點這樣講解，學生能聽懂嗎？” 我的目標，是讓他們能夠自信地說：“沒問題，我可以用這個方法教我的學生了。”

雖然我自己沒有直接給中小學生上過課，但我會去課堂觀察，也會定期和接受過培訓的教師交流，聽取他們的反饋 —— 哪些方法有效，哪些方法需要改進。可以說，這套教材的理念，是在理論與實踐的不斷結合中逐步完善的。

如果沒有這些和教師的交流，就不會有這套教材的誕生。

Q：太棒了。接下來，我看到表單里還有一個問題。提問者說，您的教材看起來非常有意思，而且很有可能適用于歐洲的數學教育。他還問：“您的教材中是否涉及數學評價的內容？” 畢竟，小學教師在教學中往往只關注學生的答案是否正確，但實際上，數學學習遠不止于此。所以，您能否給我們總結一下，基于 PBSM 的理念，應該如何開展數學評價？

當然可以。我的教材里設計了大量的練習題，這些練習題的目的，就是為了給教師提供評價學生的思路。

這些練習題并非簡單地讓學生 “算出答案”，而是更注重引導學生 “解釋原理”—— 比如，讓學生說明為什么這個算法是正確的，為什么這個結論成立。當然，計算類的題目也是必不可少的，畢竟運算熟練度很重要。

我希望，教師能夠通過這些練習題，學會如何設計評價內容，真正了解學生是否掌握了數學知識，而不僅僅是看學生的答案對不對。

另外，我想補充一點：我不知道這套教材在歐洲是否容易買到，但歐洲數學會的期刊在兩三年前，曾對這六卷教材做過專題評論。我可以把相關鏈接發給你，湯姆，之后你可以把它放到視頻簡介欄里，方便大家查看。

Q：太好了。接下來，我們來看一個聊天框里的問題。

您在講座的最后提到，TSM 已經成為一種 “默認的教學模式”，被人們習以為常。那么，對于一線教師來說，他們在日常教學中應該如何反抗這種模式？有沒有什么切實可行的方法，能夠幫助他們改變 “數學就該這樣教” 的固有觀念？

這是一個很現實的問題。

遺憾的是，如果聯邦政府、學區或者其他教育主管部門沒有決心改革，依然強制學校使用 TSM 教材，那么教師能做的其實非常有限。

但即便如此，教師依然可以做一些力所能及的改變。正如我之前提到的，我培訓了 14 年的教師，其中很多人在掌握了 PBSM 的理念后，開始在自己的課堂上嘗試改變 —— 他們不再機械地教學生背公式、記步驟，而是開始給學生講解知識背后的原理。

這種改變雖然是 “漸進式” 的，而非 “系統性” 的，但效果卻非常顯著。很多教師反饋說，當學生真正理解了數學知識后，學習興趣和自信心都大大提高了，他們自己也從教學中獲得了極大的成就感。

不過，要從根本上改變現狀，系統性的改革是必不可少的。

Q：這個問題讓我想到了一個自己的疑問。您在講座中提到，1957年蘇聯發射 “斯普特尼克號”，是美國 “新數學運動” 的導火索。但從后續的發展來看，這場改革似乎有些 “用力過猛”—— 數學家們把大學數學直接搬到中小學課堂，忽視了學生的認知水平，最終導致改革失敗。而且，這場改革的負面影響似乎持續了六七十年，讓人們對 “嚴謹的數學教學” 產生了恐懼。

所以我在想，要實現數學教育的徹底變革，是否需要一個類似 “斯普特尼克號” 這樣的重大事件作為契機？比如，人工智能的興起 —— 會不會有一天，人們突然發現，死記硬背的數學學習方式在 AI 時代完全沒有意義，從而倒逼數學教育進行改革？您對這個問題有什么看法？

A：很遺憾，這個問題恰恰觸及了我的擔憂。

正如你所說，“斯普特尼克號” 事件引發了美國的數學教育改革，但那場改革走向了極端。而現在，人工智能的興起，讓我看到了類似的風險。

目前，AI 在數學教育中的應用，本質上依然是TSM 的 “升級版”—— 它只是把 TSM 的內容變得更高效、更便捷，但并沒有改變 TSM 的核心缺陷。我自己也做過相關測試，結果確實如此。

所以，從長遠來看，要實現數學教育的改革，首先必須做的，就是把 AI 中的數學知識體系，從 TSM 替換為 PBSM。否則，無論教師在課堂上教什么，學生回家后打開 AI，學到的依然是 TSM 的內容 —— 這樣一來，任何改革都將無從談起。

這是我目前最擔心的問題。不過，由于我對 AI 的了解有限，暫時無法更清晰地闡述我的擔憂，但這種危機感確實一直存在。

Q：接下來，我們來看一個更具體的問題，同樣來自聊天框。

您在講座中提出了數學完整性的五個原則，其中最后一個是 “目標明確性”—— 也就是讓學生明白學習每個概念和技能的目的。有提問者問：“學習數學的目的，是否總能被學生直觀地理解？” 畢竟，有一種觀點認為，數學學習存在 “相關性悖論”—— 有些數學概念和思想，只有在學生學懂之后，才能真正理解它的意義和價值。

A：這個問題的后半部分，其實很容易回答：是的，確實有些數學知識，學生只有學懂之后，才能明白它的用途。但這并不是絕對的，大多數數學知識的學習目的，是可以在教學中明確告訴學生的。

比如，我在講座中提到的整數四則運算的標準算法。關于 “為什么要背乘法口訣” 這個問題，我就曾經在課堂上和學生討論過。我會問學生：“你們想學會寫字、學會說話嗎？如果想，那你們要不要先學字母表？”

答案是肯定的。乘法口訣就相當于數學中的 “字母表”—— 只有掌握了這些基礎的運算技能，才能進一步學習更復雜的數學知識。這就是學習乘法口訣的目的，即使是小孩子也能理解。

再比如，斜率的概念是美國數學教育的一大難點，我不知道在英國是不是也是如此。在我的教材里，我用了四頁的篇幅，先向學生解釋 “我們為什么需要斜率”—— 也就是斜率能幫我們解決什么問題，它要測量的是什么；然后再給出斜率的定義；最后再講解如何運用斜率解決問題。

所以，雖然確實存在 “先學習、后理解目的” 的情況，但大多數時候，我們都可以在教學中，讓學生明白學習數學知識的意義。

Q：您的意思是不是說，數學完整性的五個原則，并不是要求每一個數學概念都必須同時滿足所有原則，而是應該盡可能地去實現這些原則？

A：沒錯，就是這個意思。我們只能在教學中盡最大的努力，做到最好。

Q：好的，非常感謝您的解答。接下來，我看到聊天框里有一條不是問題，而是一條感謝的留言。留言者說：“這不是一個問題，而是一份感謝。我們最近發現了您的研究成果，并已經將其中的大部分內容翻譯成了葡萄牙語。”

A：哇，這真是太棒了！

Q：這真是一個溫暖的結尾。大部分問題已經得到了回答，我們的問答環節也進行了15到20分鐘。本來我以為可以在這里結束了，但我突然想到還有一個最后想問的問題，希望您不介意。（笑聲）

在您的個人履歷中，有一件事我非常感興趣。您提到，1992年是您的一個轉折點，從那之后您開始投身數學教育事業。我們今天在座的觀眾，包括我自己，都是數學教育的從業者或愛好者，所以我相信，大家一定都很想知道：是什么樣的契機，讓您這樣一位專業數學家，下定決心投入這么多時間和精力，去做數學教育的研究？我覺得，這個故事一定很精彩，也很適合作為今天講座的收尾。

A：我很喜歡這個問題。1992年發生的事情，確實有點戲劇性。

其實，我最初是被迫卷入學校數學教育領域的。當時，我作為一名數學家，整天忙于研究，根本沒有時間關注教育問題。但后來因為一些個人原因，我不得不答應去了解一下數學教育的現狀。

結果，我發現美國數學教育領域的“派系之爭” 非常嚴重。我剛一進入這個領域，就受到了不少攻擊和詆毀，這讓我感到非常氣憤。

但更重要的是，憤怒之余，我開始反思：為什么人們會對數學這樣一門講求邏輯和理性的學科，產生如此強烈的情緒對立？這里面到底存在什么問題？

于是，我開始深入調查1992年美國學校的數學教學實際。結果，我被眼前的景象震驚了—— 我們竟然在用如此糟糕的方式，教孩子們學習數學！我覺得這是一種 “不道德” 的行為，而且我堅信，自己有能力改變這種現狀。

再加上我一直對 “如何把知識傳遞給他人” 充滿興趣，所以我開始思考：我可以繼續做數學研究，也可以投身數學教育。如果做研究，我的成果能對人類產生多大的影響？如果做教育，又能產生多大的影響？雖然我無法準確比較兩者的價值，但最終我還是決定，在那個時候，轉向數學教育領域。

其實，這段經歷的詳細過程，我在一次訪談中提到過。我可以把訪談的鏈接發給你，湯姆，之后你可以把它放到視頻簡介欄里，讓更多人看到。

主持人：

太好了！非常感謝您。

那么，今天的講座到這里就圓滿結束了。再次感謝伍教授為我們帶來的精彩分享。

也感謝所有正在觀看直播的觀眾，以及之后會觀看回放的朋友們。我們的下一場講座將在四周后的4月10日周五舉行，時間和本次相同。屆時，我們將邀請薩拉?鮑威爾（Sarah Powell）教授，為我們帶來題為《如何幫扶有數學學習困難的學生》的講座，分享五種經過研究驗證的教學策略，幫助學生更好地學習數學。相信那也會是一場非常精彩的分享。

再次感謝伍教授！感謝大家的參與！請大家記得查看視頻簡介欄里的相關鏈接。我們四周后再見！

非常感謝大家！

2026歐洲數學會（EMS）數學教育講座系列簡介

歐洲數學會（EMS）非常高興地宣布其數學教育講座系列，匯聚頂尖專家，共同探討數學教學、課程設計和政策制定中的關鍵問題和創新方法。這些一小時網絡研討會將于2026年1月至6月的每個月第二個星期五晚上7點（中歐時間）舉行，由Tom Crawford博士主持。

本系列講座面向以下人群：

• 數學教師

• 教師教育者及教育研究者

• 高等教育及科研領域的數學家

• 課程開發者、教育主管部門及政策制定者

YouTube直播鏈接參與講座：

https://www.youtube.com/c/EuropeanMathematicalSociety/live

講座日程1月9日安娜?斯托克（Anna Stokke）：

《數學基礎能力的重要性及提升路徑》

數學具有嚴密的知識層級性，若學生未能熟練掌握數感、算術、分數等基礎能力，在高階數學學習中必將遭遇瓶頸。教學內容的選擇與教學方法的運用，直接決定學習成效。

詳細內容請點擊 →

2月13日努諾?克拉托（Nuno Crato）& 蒂姆?蘇爾馬（Tim Surma）：

《運用人類認知原理優化數學學習》

探索檢索練習、間隔學習、例題示范等高效認知科學策略，幫助學生夯實知識熟練度，構建深度理解。

詳細內容請點擊 →

3月13日伍鴻熙（Hung-Hsi Wu）：

《何為學校數學？》

深入剖析學校數學課程的連貫性，探討如何為教師配備必備的數學專業知識，助力教學成功。

詳細內容請點擊 → （zzllrr小樂公眾號文章鏈接后續補充，敬請期待）

4月10日莎拉?鮑威爾（Sarah Powell）《幫扶數學學習困難學生》

分享五種經實證驗證的有效策略，為有特殊數學學習需求的學生提供支持。

詳細內容請點擊 → （zzllrr小樂公眾號文章鏈接后續補充，敬請期待）

5月8日菲利普?穆恩斯（Filip Moons）《“d 代表鴨子”：在認知誤區中教好變量概念》

揭示代數教學中的常見陷阱，學習如何引導學生正確理解變量的核心內涵。

詳細內容請點擊 → （zzllrr小樂公眾號文章鏈接后續補充，敬請期待）

6月12日陶哲軒（Terence Tao）《學生應如何合理運用人工智能？》

聆聽菲爾茲獎得主的見解，探討如何規范使用人工智能工具，培養健康高效的學術思維習慣。

詳細內容請點擊 → （zzllrr小樂公眾號文章鏈接后續補充，敬請期待）

加入我們，共同塑造數學教育的未來！

參考資料

https://www.youtube.com/watch?v=t7KUhlJ55Sc

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