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當(dāng)一枚小球被拋向空中，經(jīng)典物理方程會(huì)準(zhǔn)確告訴你球落地時(shí)的路徑，以及它合適能落地。但倘若將這枚小球壓縮到原子大小或者更小，它的行為將超出經(jīng)典物理學(xué)所能預(yù)測的范圍。

至少到目前為止，都可以這么認(rèn)為。

但 MIT 的科學(xué)家提出了一項(xiàng)證明，日常經(jīng)典物理中的某些數(shù)學(xué)思想可以用來描述在量子亞原子尺度上常常出現(xiàn)的奇怪且不直觀的行為。該研究以「On computing quantum waves exactly from classical action」為題，于 2026 年 4 月 22 日發(fā)布在《Proceedings of the Royal Society》。

論文鏈接：https://royalsocietypublishing.org/rspa/article/482/2336/20250413/481461/On-computing-quantum-waves-exactly-from-classical

向無限遠(yuǎn)去，遠(yuǎn)在更深處

MIT 團(tuán)隊(duì)展示了量子物體的運(yùn)動(dòng)可以通過應(yīng)用經(jīng)典物理學(xué)中的一個(gè)概念「最小作用量」來計(jì)算。通過新的公式，他們表明對于雙縫實(shí)驗(yàn)和量子隧穿等教科書中的量子力學(xué)場景，他們能夠得到與薛定諤方程——量子力學(xué)的主要描述——完全相同的解。

這些只能通過量子力學(xué)方程才能理解的神秘現(xiàn)象，現(xiàn)在也可以使用該團(tuán)隊(duì)的新經(jīng)典公式來描述。本質(zhì)上，研究人員在經(jīng)典、日常物理世界和發(fā)生在原子維度以下的世界之間建立了一個(gè)精確的數(shù)學(xué)橋梁。

該團(tuán)隊(duì)是 MIT 非線性系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室的成員，他們開發(fā)模型來描述機(jī)器人與飛機(jī)控制、神經(jīng)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)問題中的復(fù)雜行為。為了預(yù)測這類系統(tǒng)的行為，工程師們通常會(huì)參考哈密頓-雅可比方程，這是經(jīng)典力學(xué)的主要公式之一，與牛頓著名的運(yùn)動(dòng)定律相關(guān)。

圖 1：經(jīng)典粒子路徑和雙縫實(shí)驗(yàn)中的量子波。

該方程本質(zhì)上表示一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)是使一個(gè)稱為「作用量」的量最小化。例如，考慮一個(gè)簡單的場景，一個(gè)球從 A 點(diǎn)被拋到 B 點(diǎn)。理論上，球在這兩點(diǎn)之間可以采取任何數(shù)量的之字形路徑。但方程指出，實(shí)際路徑應(yīng)該是球在路徑上的每一點(diǎn)處「作用量」都最小化的路徑。

研究者在將哈密頓-雅可比方程和最小作用量原理應(yīng)用于具有約束條件的經(jīng)典力學(xué)問題時(shí)，意識到通過一些數(shù)學(xué)擴(kuò)展，該方程可以解決量子力學(xué)中一個(gè)著名的問題——雙縫實(shí)驗(yàn)。

https://news.mit.edu/2025/famous-double-slit-experiment-holds-when-stripped-to-quantum-essentials-0728

自從量子力學(xué)發(fā)現(xiàn)以來，物理學(xué)家們一直試圖用經(jīng)典日常物理學(xué)的工具來解釋雙縫實(shí)驗(yàn)。但他們只能近似實(shí)驗(yàn)結(jié)果。但 MIT 團(tuán)隊(duì)意識到有一點(diǎn)是可以被修改的：經(jīng)典物理學(xué)認(rèn)為物體只能從 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)走一條路徑，而量子力學(xué)允許物體同時(shí)走多條路徑并處于多種狀態(tài)——這種被稱為疊加的基本量子特性。

從這點(diǎn)出發(fā)，團(tuán)隊(duì)認(rèn)為，如果經(jīng)典物理學(xué)至少在數(shù)學(xué)上也能考慮多重路徑的概念，那么無需計(jì)算無限多條路徑，采用更少的「最小作用量」經(jīng)典路徑可能產(chǎn)生完全相同的量子結(jié)果。

粒子的命運(yùn)在于其密度

在新研究中，團(tuán)隊(duì)加入了經(jīng)典物理的另一個(gè)要素：「密度」，本質(zhì)上是某條路徑被選擇的概率。

「可以用流體動(dòng)力學(xué)來思考密度，「研究員 Lohmiller 解釋道。「對于雙縫實(shí)驗(yàn)，想象一下把一根軟管泵向墻壁。結(jié)果是，大部分水會(huì)擊中中心，但也會(huì)有一些水滴向兩側(cè)流去。中心水密度高意味著沿路徑找到水滴的可能性很高。而且會(huì)有一個(gè)分布。這個(gè)分布是可以計(jì)算出來的。」

他與另一位同事 Slotine 調(diào)整了漢密頓-雅可比方程，加入了密度項(xiàng)和多條最小作用量路徑，并將其應(yīng)用于雙縫實(shí)驗(yàn)。他們發(fā)現(xiàn)，采用這種表述后，只需考慮穿越這兩個(gè)狹縫的兩條經(jīng)典路徑，并最終得出了一個(gè)波函數(shù)。它代表光子可能走的最可能路徑的分布，與描述量子力學(xué)行為的核心方程薛定諤方程所預(yù)測的完全相同。

除了雙縫實(shí)驗(yàn)外，研究人員還展示了重新設(shè)計(jì)的方程還可以預(yù)測其他量子力學(xué)行為，比如量子隧穿，其中電子等粒子能夠通過經(jīng)典物理無法實(shí)現(xiàn)的能量障礙。他們還可以從行星的經(jīng)典軌道推導(dǎo)出氫原子中電子的精確量子波。最后，他們從這一視角重新審視了著名的愛因斯坦-波多爾斯基-羅森實(shí)驗(yàn)，開啟了現(xiàn)代量子糾纏的研究。

圖 2：兩個(gè)經(jīng)典的計(jì)數(shù)旋轉(zhuǎn)。

研究人員設(shè)想，科學(xué)家們可以利用這一新公式作為預(yù)測某些量子系統(tǒng)和器件性能的簡單方法。

Slotine 提出：「這可能對量子計(jì)算產(chǎn)生重要影響，因?yàn)榱孔颖忍鼐哂形锢韺W(xué)家必須近似的非線性能量，或者有助于更好地理解涉及量子物理和廣義相對論的問題。」「至少原則上，我們現(xiàn)在應(yīng)該能夠用簡單的經(jīng)典工具精確描述這種量子行為，并證明它其實(shí)并不那么神秘。」

論文鏈接：https://royalsocietypublishing.org/rspa/article/482/2336/20250413/481461/On-computing-quantum-waves-exactly-from-classical