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今天，懸了 80 年的「平面單位距離猜想」被 GPT 推翻了，菲爾茲獎(jiǎng)得主 Timothy Gowers 表示心情非常復(fù)雜

在 Gowers 的 Twitter 中，他如此說(shuō)道：「如果你是數(shù)學(xué)家，最好先坐下來(lái)再往下讀」，可見「菲爾茲獎(jiǎng)得主首次體驗(yàn) GPT-5.5 Pro！被嚇到眩暈癱坐，那一刻就像看到原子彈爆炸」

同一時(shí)間，GPT 也幫助解決了另一個(gè)懸了 40 年的 Nesterov 加速梯度法的點(diǎn)收斂問(wèn)題

看來(lái)，AI 做數(shù)學(xué)的能力，自此已經(jīng)不需要刷 AIME（美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽） 來(lái)證明了

平面單位距離猜想

首先，讓我們拿出問(wèn)題：一張紙上撒 n 個(gè)點(diǎn)，最多能有多少對(duì)點(diǎn)之間的距離恰好等于 1？

這個(gè)問(wèn)題由 Erd?s 1946 年提出，并給到猜想：正方形網(wǎng)格的排法已經(jīng)是最優(yōu)的了，不可能有本質(zhì)超越

因?yàn)樘现庇X(jué)了，也被稱為「最著名、最容易解釋的問(wèn)題」，但大家并不能證明或者證偽

論文作者：OpenAI

GPT 則找到了一族全新的排列方式，單位距離對(duì)數(shù)以多項(xiàng)式級(jí)別超過(guò)了網(wǎng)格方案，讓這個(gè)懸了 80 年的問(wèn)題，被 AI 解決了

證明的路徑很出乎意料：模型構(gòu)造了一個(gè)無(wú)限的全實(shí)數(shù)域塔，用 Galois 群和 Golod-Shafarevich 定理完成證明

完全自動(dòng)化求解

對(duì)于這個(gè)證明，Gowers 說(shuō)他會(huì)「毫不猶豫地推薦發(fā)表」，而Noga Alon、Thomas Bloom、Melanie Wood 等九位數(shù)學(xué)家聯(lián)合寫了伴隨論文做驗(yàn)證

Sebastien Bubeck 的單位距離可視化

論文 Planar Point Sets with Many Unit Distances
https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-proof.pdf

OpenAI 博客
https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/

NAG 點(diǎn)收斂問(wèn)題

另一個(gè)被解決的問(wèn)題，是 NAG 點(diǎn)收斂

早在 1983 年，Nesterov 發(fā)明了一種加速梯度下降的方法叫 NAG：每次梯度下降時(shí)，先往前探一步看看，然后再?zèng)Q定怎么走。這樣的一個(gè)方法，讓推理的收斂速度從 O(1/k) 到了 O(1/k2)，也就是快了一個(gè)數(shù)量級(jí)

但另外的一個(gè)問(wèn)題卻懸了 40 年：NAG 跑著的時(shí)候，那些迭代的點(diǎn)到底會(huì)不會(huì)停在一個(gè)具體的位置上？在最優(yōu)解附近轉(zhuǎn)圈，永遠(yuǎn)不收斂？

UCLA 的 Ernest Ryu 和學(xué)生 Uijeong Jang 用 GPT-5 Pro 證了：會(huì)收斂，并收斂到確定的點(diǎn)

論文首頁(yè)：Abstract 中提到 ChatGPT

他還給到了聊天記錄

https://chatgpt.com/share/6950b63e-1a58-8009-832b-48288fd60c30

后來(lái) Ryu 又用 OpenAI 內(nèi)部模型證了一個(gè)相關(guān)結(jié)論：NAG 連續(xù)時(shí)間版本的收斂軌跡可以無(wú)窮長(zhǎng)，并在論文中致謝：「All proofs of this work are due entirely to an internal model at OpenAI」

后續(xù)論文 Abstract：所有證明全部由 OpenAI 內(nèi)部模型完成

論文 Point Convergence of NAG
https://arxiv.org/abs/2510.23513

后續(xù)論文 Nesterov Flow May Travel Infinitely Long
https://arxiv.org/abs/2604.06651

ChatGPT 聊天記錄
https://chatgpt.com/share/6950b63e-1a58-8009-832b-48288fd60c30

OpenAI 博客
https://openai.com/index/gpt-5-mathematical-discovery/