女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

在德國(guó)哲學(xué)中，數(shù)學(xué)被視作精神科學(xué)（Geisteswissenschaften）的一部分，而對(duì)這一定位的研究，折射出數(shù)學(xué)與藝術(shù)之間的關(guān)系。本研究聚焦于哲學(xué)家馬克斯·本塞的早期著作，他在這些作品中描繪了與哲學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)思想史輪廓。他指出，數(shù)學(xué)與人類(lèi)創(chuàng)造能力的各個(gè)領(lǐng)域之間存在著緊密聯(lián)系。尤為重要的是，他對(duì)重要?dú)v史階段中藝術(shù)與數(shù)學(xué)之間關(guān)系的考察表明，一個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)會(huì)在其藝術(shù)風(fēng)格或藝術(shù)理論中得到審美上的反映。他提出論題：數(shù)學(xué)的高峰與藝術(shù)的高峰相對(duì)應(yīng)。此后，本塞在數(shù)學(xué)、符號(hào)學(xué)和信息論的基礎(chǔ)上發(fā)展出了一套美學(xué)理論。

引言

馬克斯·本塞在其整個(gè)學(xué)術(shù)生涯中始終致力于研究數(shù)學(xué)與美學(xué)的關(guān)系。馬克斯·本塞（1910–1990），出生于斯特拉斯堡，曾在德國(guó)波恩大學(xué)攻讀物理學(xué)、化學(xué)、數(shù)學(xué)、地質(zhì)學(xué)和哲學(xué)。第二次世界大戰(zhàn)后，他被任命為蘇占區(qū)耶拿大學(xué)的校長(zhǎng)，并擔(dān)任哲學(xué)與科學(xué)預(yù)備學(xué)教授。1948年，他逃往西德，隨后被任命為德國(guó)斯圖加特大學(xué)哲學(xué)與科學(xué)理論教授。本塞的哲學(xué)基本理念是一種存在主義理性主義。他獨(dú)特的貢獻(xiàn)在于闡明了數(shù)學(xué)在科學(xué)以及人類(lèi)創(chuàng)造性活動(dòng)各領(lǐng)域中的作用。早在20世紀(jì)50年代和60年代，他就已經(jīng)開(kāi)始研究技術(shù)哲學(xué)和信息論概念。他鼓勵(lì)學(xué)生們?cè)诖笮陀?jì)算機(jī)上進(jìn)行最早期的藝術(shù)編程實(shí)踐。首批計(jì)算機(jī)藝術(shù)展覽在本塞于斯圖加特大學(xué)創(chuàng)辦的研究美術(shù)館中舉行。他的思想與理論的哲學(xué)背景在今天比以往任何時(shí)候都更具現(xiàn)實(shí)意義，并構(gòu)成了媒體科學(xué)和人工智能的理論基礎(chǔ)。他的思想和理論具有開(kāi)創(chuàng)性，其著作也獲得了國(guó)際認(rèn)可（參見(jiàn)Leopold 2022b），但其中大部分作品僅以德文出版，因此未得到應(yīng)有的充分關(guān)注。

在早期著作《空間與我》（Raum und Ich，Bense 1997 [1934]）中——該書(shū)出版時(shí)他還是一位年僅24歲的年輕學(xué)生——馬克斯·本塞就已經(jīng)開(kāi)始探討數(shù)學(xué)與美、形態(tài)（Gestalt）及精神之間的關(guān)系。他認(rèn)為，形態(tài)可以被分解為幾何原型。但他也區(qū)分了審美現(xiàn)象與數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間的差異：審美現(xiàn)象基于經(jīng)驗(yàn)，而數(shù)學(xué)現(xiàn)象則基于思維。

幾年后，他撰寫(xiě)了兩卷關(guān)于數(shù)學(xué)思想史輪廓的著作（Bense 1946 和 1949）。其中與數(shù)學(xué)和藝術(shù)關(guān)系相關(guān)的主要有趣主題見(jiàn)于第二卷。在本塞看來(lái)，藝術(shù)涵蓋審美精神的所有表現(xiàn)形式，顯現(xiàn)于詩(shī)歌、文學(xué)、繪畫(huà)、雕塑、建筑以及舞蹈和音樂(lè)的表現(xiàn)之中。他的視野聚焦于歐洲藝術(shù)及其在埃及的早期根源。這部著作成為他研究藝術(shù)中數(shù)學(xué)原理的起點(diǎn)，尤其在與具體藝術(shù)和文學(xué)領(lǐng)域的藝術(shù)家緊密關(guān)聯(lián)方面，他還進(jìn)行了自己的詩(shī)歌文本實(shí)驗(yàn)（Walther 1998）。在后期的著作中，他在信息論和伯克霍夫關(guān)于審美測(cè)量的定義基礎(chǔ)上，發(fā)展出了一門(mén)精密美學(xué)（Bense 1982 [1965] 和 1998 [1969]）。我們?cè)诖司劢褂隈R克斯·本塞1949年的早期著作，該著作在二手文獻(xiàn)中尚未得到廣泛關(guān)注（Herrmann 2018）。在這部著作中，本塞描述了與哲學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)思想史輪廓，并指出了其在藝術(shù)中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。重要?dú)v史階段的例證展示了這些關(guān)系。

本塞提出了藝術(shù)與數(shù)學(xué)之間具有明顯關(guān)聯(lián)的四個(gè)歷史階段（Bense 1949: 58）：

1對(duì)稱(chēng)圖形與裝飾紋樣的構(gòu)建，尤其是在埃及數(shù)學(xué)與裝飾藝術(shù)中，體現(xiàn)了前希臘時(shí)期數(shù)學(xué)與藝術(shù)之間的關(guān)聯(lián)。

2在哥特式風(fēng)格中，非具象的哥特式建筑裝飾或窗花格的構(gòu)成，以及哥特式大教堂中空間群組的組織，構(gòu)成了主要聯(lián)系。

3文藝復(fù)興時(shí)期的特征在于黃金分割學(xué)說(shuō)的復(fù)興、透視法在文藝復(fù)興建筑與繪畫(huà)中的形成，以及對(duì)歐幾里得、阿基米德和維特魯威的重新接受。

4巴洛克藝術(shù)的特殊之處在于無(wú)窮小算法與普遍數(shù)學(xué)（Mathesis universalis）概念的出現(xiàn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及空間曲線的運(yùn)用，這在建筑中尤為顯著。

隨著18世紀(jì)中葉達(dá)朗貝爾和狄德羅編纂《百科全書(shū)》的出版，普遍數(shù)學(xué)（Mathesis universalis）的時(shí)代宣告終結(jié)，普遍機(jī)械學(xué)（Mathesis mechanica 或 Mechanica universalis）的時(shí)代由此開(kāi)啟。在這一時(shí)期，數(shù)學(xué)與機(jī)器、技術(shù)及各類(lèi)應(yīng)用相關(guān)聯(lián)，形成了一種與數(shù)學(xué)和力學(xué)相關(guān)的綜合技術(shù)性關(guān)系。這標(biāo)志著數(shù)學(xué)精神開(kāi)始分化為理論—科學(xué)方面與建構(gòu)—技術(shù)方面。

在19世紀(jì)最后25年間，印象派風(fēng)格在繪畫(huà)中得以發(fā)展。本塞將印象派與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)危機(jī)相類(lèi)比，這場(chǎng)危機(jī)始于集合論和非歐幾何的興起。

從20世紀(jì)50年代起，本塞著作中關(guān)于數(shù)學(xué)與美學(xué)的關(guān)系經(jīng)歷了一次決定性的重新定向，這發(fā)生在他接觸符號(hào)學(xué)、信息論和控制論之后，他將這一方向稱(chēng)為信息美學(xué)（information aesthetics）。這一轉(zhuǎn)向尤其具有重要意義，因?yàn)樗転鯛柲吩O(shè)計(jì)學(xué)院創(chuàng)始校長(zhǎng)馬克斯·比爾之邀，參與該校的通識(shí)哲學(xué)教育，并隨后擔(dān)任該校新成立的信息系主任（Walther 2003; Leopold 2013, 2022b）。

前希臘數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)與裝飾

在本塞看來(lái)，美學(xué)與數(shù)學(xué)之間最早的關(guān)系體現(xiàn)在對(duì)稱(chēng)性上。藝術(shù)的數(shù)學(xué)化具有形態(tài)學(xué)上的意圖。數(shù)學(xué)方面決定了形式的創(chuàng)造以及元素的構(gòu)成。這一點(diǎn)可以從幾何排列中看出，例如根據(jù)對(duì)稱(chēng)規(guī)則重復(fù)某一元素。這種視覺(jué)藝術(shù)中最普遍、最古老的數(shù)學(xué)化過(guò)程，結(jié)合了幾何學(xué)與算術(shù)學(xué)的視角。

“在每一種對(duì)稱(chēng)關(guān)系中，審美意圖的數(shù)學(xué)化過(guò)程都顯得完美地得以實(shí)現(xiàn)，因?yàn)樵谶@里，審美純粹地顯現(xiàn)為數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)也純粹地顯現(xiàn)為審美；審美與數(shù)學(xué)在此成為可以互換的術(shù)語(yǔ)。”（Bense 1949: 58）

他引用了保羅·瓦萊里（Paul Valéry）的觀點(diǎn)，后者認(rèn)為裝飾對(duì)藝術(shù)具有根本性的重要意義。“從這個(gè)角度來(lái)看，裝飾性概念之于各門(mén)藝術(shù)，就如同數(shù)學(xué)之于其他科學(xué)一樣?！保˙ense 1949: 59；Valéry 1895）。這一起源顯示了數(shù)學(xué)的審美化還原，或者說(shuō)數(shù)學(xué)誕生于美學(xué)精神之中。前歐幾里得時(shí)代的數(shù)學(xué)知識(shí)正是通過(guò)裝飾紋樣得以流傳的。對(duì)稱(chēng)圖形的構(gòu)建和裝飾紋樣的創(chuàng)作被視為美學(xué)與數(shù)學(xué)結(jié)合的最早表達(dá)。根據(jù)本塞對(duì)裝飾紋樣的研究，希臘數(shù)學(xué)沿襲了可追溯至公元前1500年的埃及傳統(tǒng)。本塞提及了大量關(guān)于裝飾紋樣的文獻(xiàn)來(lái)源（例如Jones 1856），尤其還有其他關(guān)于埃及藝術(shù)的資料。開(kāi)羅伊本·圖倫清真寺（圖1）中約公元876年的早期裝飾紋樣，展示了不同類(lèi)型的對(duì)稱(chēng)操作，其中以?xún)蓚€(gè)檐壁圖案為例，分別呈現(xiàn)了反射和滑移反射。在此，本塞所指的裝飾紋樣理論分析群，在后來(lái)成為對(duì)其數(shù)學(xué)理解的重要一步。

圖1 開(kāi)羅伊本·圖倫清真寺的灰泥邊框紋飾。圖片來(lái)源：Bense 1949: 69，

這類(lèi)裝飾紋樣和對(duì)稱(chēng)圖形的構(gòu)造，可以被視為美學(xué)與數(shù)學(xué)結(jié)合的最早表達(dá)。

哥特式建筑中的空間群組與窗花格

在哥特式建筑中，數(shù)學(xué)與藝術(shù)之間的關(guān)系有著深刻的表現(xiàn)。哥特式大教堂的空間群組和哥特式窗花格便是這些表現(xiàn)之所在，其數(shù)學(xué)背景可以在其中找到。柏拉圖立體和阿基米德立體是這些空間群組的組成部分。一種對(duì)形式的審美意識(shí)通過(guò)其對(duì)稱(chēng)性特征而變得顯而易見(jiàn)。柏拉圖在其著作《蒂邁歐篇》中引入柏拉圖立體，主要出于審美價(jià)值的考量，而開(kāi)普勒在《宇宙的秘密》中所作的類(lèi)似觀察，則帶有純粹的科學(xué)或認(rèn)識(shí)論視角。柏拉圖立體或阿基米德立體并非直接用于哥特式建筑，但它們與空間網(wǎng)格相關(guān)聯(lián)。這些網(wǎng)格構(gòu)成了哥特式建筑的背景，尤其是在塔樓和尖塔的建造中。本塞以斯特拉斯堡大教堂塔尖中重疊的六角棱柱為例，說(shuō)明空間群組在建筑中的復(fù)雜運(yùn)用。該塔樓基于八邊形結(jié)構(gòu)（圖2）。根據(jù)德希奧（Dehio 1922: 22）的描述，這一建筑的設(shè)計(jì)理念可概括如下：八根立柱及其間八扇極為纖細(xì)的窗戶(hù)圍合了建筑的主體空間，在方形底座的四個(gè)角上，四座樓梯塔樓從主體中獨(dú)立突出，每座塔樓各有不同的平面圖。來(lái)自科隆的約翰·許爾茨完成了這座塔樓的建造，而在此之前，烏爾里?！ゑT·恩辛根（1419年）已將塔樓建至八邊形完成。在烏爾里希原本計(jì)劃設(shè)置小尖塔的位置，許爾茨放置了小塔樓，這些塔樓以七重花環(huán)的形式環(huán)繞核心建筑。這些小塔樓共計(jì)52座，每座內(nèi)部都設(shè)有螺旋樓梯，其排列方式使得攀登者從一座塔樓轉(zhuǎn)入另一座時(shí)，沿著螺旋線盤(pán)旋而上直至塔頂（Dehio 1922: 23）。

圖2 斯特拉斯堡大教堂的塔樓，塔樓八邊形及樓梯塔的平面圖。

在法國(guó)哥特式建筑形成的過(guò)程中，窗花格應(yīng)運(yùn)而生，其名稱(chēng)本身就揭示了審美與數(shù)學(xué)目標(biāo)的結(jié)合。本塞在此引用了洛特莉薩·貝林（Lottlisa Behling）的著作《窗花格的形式與歷史》（Gestalt und Geschichte des Ma?werkes，1944），其中展示了曲線風(fēng)格基本紋樣的實(shí)例（圖3）。這些實(shí)例顯示了窗花格的裝飾性特征。

圖3 哥特時(shí)期曲線風(fēng)格的基本紋樣，依據(jù)貝林（Behling）所繪。

文藝復(fù)興時(shí)期對(duì)歐幾里得的接受、透視理論與比例理論

對(duì)歐幾里得的接受在哥特時(shí)期已然開(kāi)始，但在文藝復(fù)興時(shí)期獲得了重要推動(dòng)。旨在再現(xiàn)場(chǎng)景或建筑物在眼前所呈現(xiàn)樣貌的目標(biāo)，促成了透視法的舞臺(tái)布景設(shè)計(jì)的發(fā)展。透視法的探索根源可追溯至歐幾里得的《光學(xué)》。文藝復(fù)興的特征在于一種藝術(shù)理性主義。根據(jù)思想史的脈絡(luò)，本塞認(rèn)為，文藝復(fù)興時(shí)期可以看作是對(duì)此前在晚期經(jīng)院哲學(xué)的經(jīng)驗(yàn)理性主義中已有所發(fā)展的傾向的重新接續(xù)，尤其是羅杰·培根（Roger Bacon，Bacon 1962 [1267]）的工作。培根通過(guò)光學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)提煉關(guān)于自然的真正知識(shí)。所有關(guān)于世界的真正知識(shí)的源泉被認(rèn)為源于直接經(jīng)驗(yàn)。文藝復(fù)興時(shí)期的透視理論正可追溯至這些根源。布魯內(nèi)萊斯基通過(guò)將透視畫(huà)與觀眾對(duì)物體的實(shí)際觀察進(jìn)行對(duì)比的演示，以及阿爾貝蒂關(guān)于如何借助視覺(jué)金字塔和畫(huà)面來(lái)制作透視圖像的說(shuō)明，都展現(xiàn)了這些認(rèn)識(shí)論層面的背景。

當(dāng)時(shí)哲學(xué)中關(guān)于世界的認(rèn)識(shí)論構(gòu)想，與物體的透視再現(xiàn)方式相對(duì)應(yīng)。主體—客體關(guān)系在認(rèn)識(shí)論和透視理論中被預(yù)設(shè)為主題性的。這一關(guān)系首先在美學(xué)領(lǐng)域得到了發(fā)展；哲學(xué)上對(duì)主客體關(guān)系的處理則相對(duì)滯后。在米歇爾·德·蒙田（Michel de Montaigne，1533–1592）的隨筆中，我們已經(jīng)可以找到將主體與客體區(qū)分為認(rèn)知圖式的表述，而這正是近代思想的特征。此后很久，康德（Immanuel Kant，1724–1804）才將主客體關(guān)系作為認(rèn)識(shí)論的基礎(chǔ)加以系統(tǒng)闡述。

本塞認(rèn)為，文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)中藝術(shù)理性主義興起的原因如下：

● 晚期經(jīng)院哲學(xué)理性主義與經(jīng)驗(yàn)主義的后續(xù)影響。

● 社會(huì)學(xué)層面的變革，擁有工藝技術(shù)知識(shí)與技能的人逐漸崛起，作為“現(xiàn)代派”（Moderni）與幾何學(xué)者并立。

● “現(xiàn)代派”和人文主義者（作為作家和語(yǔ)文學(xué)家）對(duì)修道院學(xué)校的超越，他們起初對(duì)自然科學(xué)并無(wú)興趣，但后來(lái)卻架起了通往哲學(xué)、科學(xué)和數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的橋梁。

● 藝術(shù)家的崛起，他們將中世紀(jì)精神與技術(shù)工藝相結(jié)合，并承接了需要技術(shù)和數(shù)學(xué)研究的世俗建筑委托。

這一背景以及對(duì)歐幾里得、阿基米德、維特魯威和普羅克洛斯的接受，促成了對(duì)精密科學(xué)和藝術(shù)的追求。馬克斯·本塞提及了烏切洛、皮耶羅·德拉·弗朗切斯卡、布魯內(nèi)萊斯基、阿爾貝蒂、列奧納多和丟勒（例如圖4中的透視繪圖機(jī)）作為文藝復(fù)興時(shí)期透視法與比例理論的偉大理論家和實(shí)踐者。

圖4 丟勒所繪雅各布·凱澤透視繪圖機(jī)版本的草圖。

本塞認(rèn)為，由瓦薩里創(chuàng)立并于1563年在佛羅倫薩開(kāi)辦的繪畫(huà)藝術(shù)學(xué)院（Accademia della arti del disegno），是這些發(fā)展進(jìn)程中最具代表性的精神體現(xiàn)。其課程設(shè)置包括解剖學(xué)、數(shù)學(xué)、技術(shù)、建筑和透視法等科目。

伽利略·伽利萊對(duì)縮放圓規(guī)的發(fā)明，從思想、歷史和技術(shù)層面補(bǔ)充了透視法的引入。除了藝術(shù)向數(shù)學(xué)靠攏的路徑之外，與技術(shù)世界之間的密切接觸也隨之出現(xiàn)。在本塞看來(lái)，自伽利略以后，數(shù)學(xué)畫(huà)家同時(shí)也是技術(shù)畫(huà)家。關(guān)于比例規(guī)的發(fā)明者之爭(zhēng)——巴爾達(dá)薩·卡普拉還是伽利略·伽利萊——顯示了這一新工具的重要性。此后，該圓規(guī)出現(xiàn)了多種改進(jìn)版本。本塞特別提到了數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家兼哲學(xué)家約翰·海因里?！だ什↗ohann Heinrich Lambert，1768年）較晚期的版本及其著作，認(rèn)為它們尤其體現(xiàn)了自文藝復(fù)興以來(lái)藝術(shù)、數(shù)學(xué)與技術(shù)之間的緊密聯(lián)系。

巴洛克時(shí)期的普遍數(shù)學(xué)與空間曲線

普遍數(shù)學(xué)（Mathesis universalis）這一理念，即以數(shù)學(xué)的普遍適用性為核心的一門(mén)普遍科學(xué)，與巴洛克藝術(shù)史時(shí)期相吻合，該時(shí)期大約持續(xù)從1600年至1750年。這是一個(gè)數(shù)學(xué)成果豐碩且數(shù)學(xué)哲學(xué)活躍的歷史時(shí)期。笛卡爾、帕斯卡和萊布尼茨，他們同時(shí)是數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，在1630年至1750年這一古典時(shí)期奠定了普遍數(shù)學(xué)的理念。

普遍數(shù)學(xué)（Mathesis universalis）的理念，在廣義數(shù)學(xué)的意義上——即包含非數(shù)學(xué)對(duì)象或一種方法——根據(jù)笛卡爾的看法，是在數(shù)學(xué)上控制著我們理性的科學(xué)和哲學(xué)推理。數(shù)學(xué)的形式要求科學(xué)和哲學(xué)的形式，其特征是兩類(lèi)命題：公理和定理。從公理出發(fā)，定理應(yīng)通過(guò)邏輯推理規(guī)則推導(dǎo)得出（Descartes 1969 [1637]）。普遍數(shù)學(xué)的第一個(gè)綱領(lǐng)可以在笛卡爾的著作中找到。

帕斯卡在《幾何精神論》（De l’esprit géométrique，Pascal 1658）中構(gòu)建了一種科學(xué)理論，在其中他為定義、公理和證明制定了精確的規(guī)則。馬克斯·本塞將其評(píng)價(jià)為超越歐幾里得和亞里士多德綱領(lǐng)的首個(gè)公理化范例。

萊布尼茨最終在《普遍字符》（characteristica universalis，Leibniz 1679）中首次綱領(lǐng)性地將其描述為一種普遍的概念語(yǔ)言。

巴洛克時(shí)期關(guān)于“總體藝術(shù)作品”（Gesamtkunstwerk）的藝術(shù)理論綱領(lǐng)，與普遍數(shù)學(xué)的科學(xué)理論綱領(lǐng)相一致。建筑在這一時(shí)期領(lǐng)先于繪畫(huà)和雕塑。本塞提出了數(shù)學(xué)的形式感影響藝術(shù)普遍風(fēng)格的三個(gè)要點(diǎn)：

● 文藝復(fù)興時(shí)期所應(yīng)用的透視理論及其實(shí)際操作的幾何內(nèi)涵，被轉(zhuǎn)化到了空間之中。文藝復(fù)興時(shí)期所繪制的透視畫(huà)面，在建筑本身中被轉(zhuǎn)化了?！笆澜绲耐敢暬鞘芯C合體或背景中的風(fēng)景——在文藝復(fù)興時(shí)期是被繪制的，而到了1600年至1750年間，藝術(shù)家們則要在建筑上掌握它?！保˙ense 1949: 96）。浮雕透視法的發(fā)展顯示了這種普遍化過(guò)程，即二維透視圖像被轉(zhuǎn)化到空間中。投影幾何的數(shù)學(xué)概念與浮雕透視的建筑應(yīng)用之間的關(guān)系，作者已在別處進(jìn)行了詳細(xì)分析（Leopold 2019a），這為本塞關(guān)于藝術(shù)普遍化的論題提供了一個(gè)例證。

● 普遍數(shù)學(xué)的深層思想——即通過(guò)數(shù)學(xué)理論來(lái)控制一切存在，尤其是自然世界——在藝術(shù)領(lǐng)域意味著自然可以被納入審美體系之中。這一點(diǎn)在巴洛克時(shí)期園林建筑與建筑物的結(jié)合中表現(xiàn)得尤為突出。

● 沃爾夫林在其基礎(chǔ)藝術(shù)史概念中，以“多樣性”與“統(tǒng)一性”這對(duì)概念區(qū)分了16世紀(jì)古典藝術(shù)與17世紀(jì)藝術(shù)（W?lfflin 1915）?？茖W(xué)中的統(tǒng)一性理念同樣是巴洛克藝術(shù)的特征。“巴洛克藝術(shù)基本上不再以多個(gè)獨(dú)立部分和諧互鎖的多重性來(lái)考量，而是以絕對(duì)的統(tǒng)一性來(lái)考量，在這一統(tǒng)一性中，個(gè)體部分已失去了其特殊權(quán)利?！保╓?lfflin 1915: 165）。

本塞將“表征”（Representation）描述為巴洛克時(shí)期數(shù)學(xué)中最重要的概念之一。普遍字符（characteristica universalis）要求思想與符號(hào)之間、即思想的表征之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。一個(gè)例子是笛卡爾幾何中通過(guò)方程來(lái)表征幾何曲線，這一思想在函數(shù)概念中得到了進(jìn)一步發(fā)展，萊布尼茨和伯努利也以此方式表征曲線。巴洛克藝術(shù)可以被定性為表征性藝術(shù)。藝術(shù)與數(shù)學(xué)之間的另一層關(guān)聯(lián)或許可見(jiàn)于瓜里尼的建筑幾何學(xué)，它預(yù)見(jiàn)了帕斯卡關(guān)于圓錐曲線在中心投影下保持不變性的分析。

萊布尼茨和伯努利在微積分發(fā)展中所提出的另一個(gè)重要數(shù)學(xué)概念是連續(xù)性（Continuity）。在巴洛克藝術(shù)中，連續(xù)形態(tài)與曲線的運(yùn)動(dòng)，與數(shù)學(xué)中的連續(xù)性概念相互對(duì)應(yīng)。文藝復(fù)興時(shí)期繪畫(huà)中那種為了建立比例和對(duì)稱(chēng)關(guān)系而采用的連續(xù)線性排列方式，在巴洛克時(shí)期被非線性的、連續(xù)的、曲線性的排列所取代。根據(jù)本塞的說(shuō)法，意大利巴洛克的主要代表人物包括：貝爾尼尼、博羅米尼、瓜里尼和尤瓦拉。在德國(guó)，尤其是巴塔薩爾·諾伊曼及其十四圣徒朝圣教堂（Vierzehnheiligen Basilica，圖5），代表了巴洛克式的曲線性布局。他同時(shí)是一位建筑師和數(shù)學(xué)家。對(duì)巴洛克藝術(shù)的分析總是與數(shù)學(xué)分析相結(jié)合。

圖5 十四圣徒朝圣教堂（Vierzehnheiligen）內(nèi)部，巴爾塔薩爾·諾伊曼設(shè)計(jì)，1743–1772年，作為晚期巴洛克非線性、連續(xù)、曲線風(fēng)格的代表。

從普遍數(shù)學(xué)到普遍機(jī)械學(xué)——啟蒙時(shí)代

隨著1751年首卷百科全書(shū)《百科全書(shū)，或科學(xué)、藝術(shù)與工藝分類(lèi)詞典》（Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers）的出版，由達(dá)朗貝爾和狄德羅主編，一個(gè)新時(shí)代開(kāi)始了。其目標(biāo)是匯集世界上的知識(shí)?！胺诸?lèi)詞典”（Dictionnaire raisonné）這一表述揭示了其與笛卡爾、帕斯卡和萊布尼茨這三位思想家的關(guān)聯(lián)。本塞關(guān)于普遍數(shù)學(xué)的論題在此轉(zhuǎn)變?yōu)槠毡闄C(jī)械學(xué)（Mathesis mechanica）。普遍數(shù)學(xué)的綱領(lǐng)在于數(shù)學(xué)的普遍適用性。在1750年至約1830年間，歐拉、伯努利、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、拉普拉斯等人完成了對(duì)力學(xué)原理的數(shù)學(xué)闡明（Bense 1946: 123 ff.）。力學(xué)日益走向科學(xué)發(fā)展的前沿。本塞寫(xiě)道：“如果說(shuō)古典普遍數(shù)學(xué)是笛卡爾、帕斯卡和萊布尼茨的古典理性主義的典范，涵蓋了1630年至1750年這一時(shí)期，那么古典普遍機(jī)械學(xué)則是牛頓、惠更斯、洛克和休謨的經(jīng)驗(yàn)主義或歸納經(jīng)驗(yàn)主義的典范”（Bense 1946: 125f）。經(jīng)驗(yàn)主義日益推進(jìn)，理性主義則走向衰落。在普遍機(jī)械學(xué)中，機(jī)械師與科學(xué)幾何學(xué)家之間在知識(shí)社會(huì)學(xué)上的差異被消除了。列奧納多·達(dá)·芬奇早已從數(shù)學(xué)的視角同時(shí)照亮了藝術(shù)與技術(shù)。由瓦薩里和科西莫·德·美第奇在佛羅倫薩創(chuàng)立的繪畫(huà)藝術(shù)學(xué)院（Accademia del disegno）——在關(guān)于文藝復(fù)興的章節(jié)中已經(jīng)提及——在那里藝術(shù)家、機(jī)械師、工程師和數(shù)學(xué)家相互交流，成為了后來(lái)工業(yè)大學(xué)——即理工學(xué)院——的前身。在百科全書(shū)派、唯物論者和革命者的那個(gè)年代，數(shù)學(xué)在教學(xué)上的重要性從未被觸及，因?yàn)樵趩⒚蓵r(shí)代，他們希望教育人們獨(dú)立自主地思考。

加斯帕爾·蒙日，作為畫(huà)法幾何的偉大重建者，是巴黎第一所綜合理工學(xué)院（école Polytechnique）的創(chuàng)始人。由此，力學(xué)與數(shù)學(xué)的雙重精神得以具體化。這所新學(xué)校正是普遍機(jī)械學(xué)時(shí)代的體現(xiàn)。建筑學(xué)成為這些理工學(xué)院的一部分。即使在今天，建筑學(xué)仍具有雙重屬性：一方面作為工業(yè)大學(xué)的院系存在，另一方面作為藝術(shù)學(xué)院的學(xué)科專(zhuān)業(yè)而設(shè)立。

從理性主義到經(jīng)驗(yàn)主義的路徑，一方面表達(dá)了形式的衰敗之路，另一方面也體現(xiàn)了智性創(chuàng)造能力的弱化之路。本塞認(rèn)為，“精神在創(chuàng)造行為中的強(qiáng)度，大于其在經(jīng)驗(yàn)行為中的強(qiáng)度”（Bense 1946: 155）。從理性主義到經(jīng)驗(yàn)主義的道路，表達(dá)了智性人類(lèi)從審美階段向倫理階段的過(guò)渡。漢斯-克里斯蒂安·馮·赫爾曼（Hans-Christian von Herrmann，2018: 86）在其關(guān)于本塞著作中數(shù)學(xué)與美學(xué)關(guān)系的文章中恰當(dāng)?shù)刂赋觯夹g(shù)史——約在18世紀(jì)中葉成為關(guān)注焦點(diǎn)——打破了近代早期數(shù)學(xué)—藝術(shù)精神的一體性。

印象派與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)危機(jī)的平行關(guān)系

在19世紀(jì)最后25年間，印象派在繪畫(huà)中占據(jù)了重要地位。根據(jù)本塞的看法，印象派所發(fā)起的對(duì)清晰具象輪廓的消解傾向，與數(shù)學(xué)中著名的重大基礎(chǔ)危機(jī)——始于集合論和非歐幾何——同時(shí)發(fā)生，這并非偶然。非歐幾何首次表明，存在的不是唯一的一種數(shù)學(xué)，而是多種數(shù)學(xué)體系，并且某些命題在一種數(shù)學(xué)體系中為真，在另一種數(shù)學(xué)體系中卻為假?？藙诘隆つ斡?874年在巴黎展出了其開(kāi)創(chuàng)性畫(huà)作《日出印象》（圖6）。同年，格奧爾格·康托爾發(fā)表了論文《關(guān)于所有實(shí)代數(shù)集合的一個(gè)性質(zhì)》（über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen），這被視作集合論誕生的標(biāo)志。他最初稱(chēng)之為“流形論”（Mannigfaltigkeitslehre）。這是首次區(qū)分了兩種不同類(lèi)型的無(wú)窮集合。早在1867年，伯恩哈德·黎曼發(fā)表了《關(guān)于幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》（Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen，圖7）——該文為其1854年的就職演講——其中闡述了對(duì)我們空間之非歐幾里得特性的解釋。

圖6 莫奈（Claude Monet）：《日出印象》（Impression）。1874年。

圖7 伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）：《關(guān)于幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》（Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen）。

隨著集合論的出現(xiàn)，在看似公理—演繹結(jié)構(gòu)的算術(shù)中，矛盾變得明顯起來(lái)。隨著非歐幾何的取代，幾何學(xué)中對(duì)清晰性和歐幾里得式明證性的要求已無(wú)法滿足。本塞總結(jié)道：“在理論上，數(shù)學(xué)的無(wú)矛盾性成了一個(gè)難題；在實(shí)踐上，幾何學(xué)——即哪一種幾何學(xué)？——在自然中的應(yīng)用也成了一個(gè)難題”（Bense 1946: 157）。在繪畫(huà)中，情況類(lèi)似：在印象派中，繪畫(huà)從素描、從幾何可構(gòu)想的形式中發(fā)展出來(lái)的過(guò)程被打破了，而將印象派的審美意識(shí)追溯到最廣義上的幾何意識(shí)已不再可能。色彩對(duì)畫(huà)家來(lái)說(shuō)變得最為重要。

根據(jù)塞尚的看法，對(duì)畫(huà)家而言，既不存在線條也不存在曲線。存在的只是色彩對(duì)比，而這些色彩并不是牛頓物理學(xué)意義上的客觀物理顏色，而是歌德生理現(xiàn)象學(xué)顏色理論中的主觀生理顏色。最后，本塞總結(jié)道，印象派的技法是一種綜合性的繪畫(huà)方式，正如射影幾何是一種綜合性幾何學(xué)一樣（Bense 1946: 160）。射影幾何作為一種綜合性幾何學(xué)，建立在公理化的幾何原理之上，這些原理通過(guò)幾何對(duì)象（點(diǎn)、直線、平面等）之間的相互關(guān)系來(lái)隱含地定義它們。在印象派中，大氣透視日益取代了線性空間透視。大氣透視僅僅通過(guò)色調(diào)來(lái)營(yíng)造空間層次感。印象派的技法同樣是綜合性的，因?yàn)槔L畫(huà)表現(xiàn)的是藝術(shù)家感知世界與想象世界的綜合，而非對(duì)外部世界的分析。

本塞美學(xué)中數(shù)學(xué)與藝術(shù)的關(guān)系

早在從事數(shù)學(xué)與藝術(shù)思想史的歷史研究的同時(shí)及此后，本塞便致力于符號(hào)學(xué)和數(shù)學(xué)信息論的研究，其目標(biāo)是建立一門(mén)涵蓋所有個(gè)體藝術(shù)與設(shè)計(jì)領(lǐng)域的精密美學(xué)。他對(duì)其美學(xué)概念作了如下論述：

“美學(xué)勾勒出可能的藝術(shù)作品的原則……但不是通過(guò)藝術(shù)的手段，而是以純粹理論的形式?！缹W(xué)只是從其預(yù)設(shè)的藝術(shù)生產(chǎn)中產(chǎn)生出它的研究對(duì)象。這些對(duì)象是審美對(duì)象、審美判斷和審美存在?！保˙ense 1982: 22）

在美國(guó)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家查爾斯·桑德斯·皮爾士（Charles Sanders Peirce，1839–1914）著作的基礎(chǔ)上，本塞將他的符號(hào)學(xué)發(fā)展為一門(mén)符號(hào)理論。戴維·G·伯克霍夫（David G. Birkhoff，1933）關(guān)于審美測(cè)度的定義、克勞德·E·香農(nóng)（Claude E. Shannon，1948）的信息論，以及諾伯特·維納（Norbert Wiener，1948）的控制論，為這一新美學(xué)提供了基礎(chǔ)。這些研究早在20世紀(jì)50年代就已由本塞開(kāi)展，其動(dòng)力源于他在烏爾姆設(shè)計(jì)學(xué)院期間的經(jīng)歷。他與法國(guó)斯特拉斯堡大學(xué)教授、同時(shí)也是烏爾姆設(shè)計(jì)學(xué)院講師的亞伯拉罕·A·莫爾斯（Abraham A. Moles，Moles 1966）共同構(gòu)建了信息美學(xué)，通過(guò)符號(hào)學(xué)和數(shù)學(xué)手段來(lái)表征審美狀態(tài)（Bense 1998 [1969]）。適用于自然對(duì)象、藝術(shù)作品或設(shè)計(jì)對(duì)象的審美狀態(tài)，被定義為審美信息。借助符號(hào)學(xué)和香農(nóng)的信息論，所有基于技術(shù)和藝術(shù)的交流形式都可以得到奠基。伯克霍夫的審美測(cè)度被本塞解釋為審美信息。伯克霍夫?qū)徝罍y(cè)度 M 定義為所觀察構(gòu)形的秩序與復(fù)雜度等級(jí)的函數(shù)：M=O/C，其中 O 為秩序關(guān)系、對(duì)稱(chēng)性和和諧性的數(shù)量，C 為復(fù)雜度（參見(jiàn) Leopold 2019b, 2022a）。與伯克霍夫的考量相一致，本塞將審美狀態(tài)定義為有序狀態(tài)與無(wú)序狀態(tài)之間的關(guān)系。秩序關(guān)系 O 對(duì)應(yīng)于冗余度，即有序狀態(tài)，而 C 對(duì)應(yīng)于混沌或創(chuàng)新，即無(wú)序狀態(tài)。他在其《美學(xué)》（Aesthetica）中解釋道：

“一種完美的創(chuàng)新，如果其中僅存在如同混沌般的新?tīng)顟B(tài)，那將是不可識(shí)別的?；煦缃K究是無(wú)法辨認(rèn)的。一個(gè)審美狀態(tài)的可識(shí)別性，不僅要求其單一創(chuàng)新的可識(shí)別性，還要求其基于冗余秩序特征的可辨識(shí)性?！保˙ense 1982: 356）

本塞很早便對(duì)技術(shù)及控制論——作為數(shù)學(xué)邏輯在技術(shù)中的應(yīng)用——的作用產(chǎn)生了興趣。他引用了諾伯特·維納的控制論，并在《控制論或機(jī)器的元技術(shù)》（Kybernetik oder die Metatechnik einer Maschine）中寫(xiě)道：

“這種技術(shù)向此前難以企及的領(lǐng)域的滲透，及其向元技術(shù)的轉(zhuǎn)化——這種轉(zhuǎn)化不斷模糊所謂物質(zhì)領(lǐng)域與非物質(zhì)領(lǐng)域之間的界限——可以通過(guò)這樣一個(gè)事實(shí)來(lái)證明：諾伯特·維納所說(shuō)的控制論機(jī)器，不僅……是在邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家和技術(shù)人員之間的持續(xù)合作中創(chuàng)造出來(lái)的……而且它們所具有的功能，與人類(lèi)意識(shí)的某些特有能力——如記憶——相對(duì)應(yīng)?！ㄟ^(guò)技術(shù)，人類(lèi)為自己創(chuàng)造了一個(gè)與其作為自然存在和精神存在的雙重角色相適應(yīng)的‘環(huán)境’。”（Bense 2004 [1951]: 54–60）

關(guān)于傳播理論、符號(hào)學(xué)、控制論及其對(duì)美學(xué)影響的更多細(xì)節(jié)，作者已在別處進(jìn)行了描述（Leopold 2022b）。本塞的美學(xué)理論與概念對(duì)烏爾姆設(shè)計(jì)學(xué)院的學(xué)術(shù)背景產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響（Leopold 2013），也對(duì)早期的計(jì)算機(jī)圖形實(shí)驗(yàn)、設(shè)計(jì)以及建筑設(shè)計(jì)方法產(chǎn)生了影響（Leopold 2022a, b）。早在20世紀(jì)60年代，許多藝術(shù)家、設(shè)計(jì)師、數(shù)學(xué)家等就已受到本塞的啟發(fā)，借助計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行創(chuàng)作。這些藝術(shù)作品，例如數(shù)學(xué)家、后來(lái)成為德國(guó)不來(lái)梅大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)教授的弗里德·納克（Frieder Nake，2012）的作品，便屬于最早的計(jì)算機(jī)藝術(shù)實(shí)驗(yàn)。本塞的美學(xué)理論再次將數(shù)學(xué)與藝術(shù)緊密聯(lián)系在一起——如今是在一個(gè)普遍的理論層面上，同時(shí)也適用于各類(lèi)藝術(shù)作品的創(chuàng)作實(shí)踐。

結(jié)論

馬克斯·本塞對(duì)數(shù)學(xué)與藝術(shù)之間思想史關(guān)系的研究，在若干歷史階段上展示了有趣的成果。他總結(jié)道：

“作為這項(xiàng)對(duì)數(shù)學(xué)與藝術(shù)的思想史研究的結(jié)果，可以斷言：歐洲藝術(shù)中每一種新風(fēng)格的出現(xiàn)，都與數(shù)學(xué)方法和定理的引入相關(guān)聯(lián)，該風(fēng)格的形式要素或多或少都可以統(tǒng)一而完整地追溯至這些數(shù)學(xué)方法和定理?！保˙ense 1949: 207）

該研究?jī)H限于歐洲藝術(shù)，而有趣的補(bǔ)充性研究可以在全球范圍內(nèi)尋找類(lèi)似的關(guān)系。本塞從研究中得出了一種純粹藝術(shù)形式的美學(xué)，這種美學(xué)可追溯至數(shù)學(xué)形式。但他也討論了這樣一個(gè)問(wèn)題：這些形式中哪些可被稱(chēng)為藝術(shù)的，以及美學(xué)應(yīng)如何理解？他的回答是：那些作用于我們感官的數(shù)學(xué)形式——即它們不僅可被思考、不僅可被感知，而且能觸動(dòng)我們、改變我們——這些具有情感作用的形式被稱(chēng)為審美形式。

根據(jù)馬克斯·本塞的哲學(xué)研究，數(shù)學(xué)與藝術(shù)之間的關(guān)系可以在其思想史的相互對(duì)應(yīng)中被探討。本塞通過(guò)四個(gè)歷史階段——即前希臘時(shí)期、哥特時(shí)期、文藝復(fù)興時(shí)期和巴洛克時(shí)期——對(duì)此進(jìn)行了描述。他闡明，歐洲藝術(shù)中新風(fēng)格的出現(xiàn)與數(shù)學(xué)中新方法的引入相關(guān)聯(lián)。在他的美學(xué)理論中，藝術(shù)形式可以追溯至數(shù)學(xué)形式。這些背景脈絡(luò)通過(guò)若干實(shí)例得以呈現(xiàn)，使二者關(guān)系變得可理解。在啟蒙時(shí)代，理性主義轉(zhuǎn)向經(jīng)驗(yàn)主義，數(shù)學(xué)作為應(yīng)用數(shù)學(xué)在技術(shù)領(lǐng)域中變得日益重要。近代早期數(shù)學(xué)精神與藝術(shù)精神的統(tǒng)一性由此被打破。此外，本塞還指出了印象派繪畫(huà)中形式的消解與數(shù)學(xué)中因集合論和非歐幾何而引發(fā)的基礎(chǔ)危機(jī)之間的平行關(guān)系。在其后續(xù)工作中，本塞在符號(hào)學(xué)、數(shù)學(xué)和信息論的基礎(chǔ)上發(fā)展出了一套美學(xué)理論。在這一美學(xué)理論中，數(shù)學(xué)與藝術(shù)被重新緊密聯(lián)系在一起，激發(fā)了藝術(shù)家、科學(xué)家和研究者進(jìn)行藝術(shù)實(shí)驗(yàn)，尤其是早期的計(jì)算機(jī)藝術(shù)實(shí)驗(yàn)。這一后期擴(kuò)展的美學(xué)概念，本文僅能略作提示。

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青山 不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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