《夏洛特?zé)馈?/p>

撰文 | 烏其多

審校 | 劉六七

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眾所不周知，大部分編程語言都算不出0.1+0.2=0.3。

比如Javascript一通計(jì)算下的結(jié)果就為：0.30000000000000004！

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你可能會(huì)說：“你先等會(huì)兒!”

然后打開windows上自帶的計(jì)算器，輸入“0.1+0.2”,然后拿著計(jì)算結(jié)果掄圓了準(zhǔn)備打我的小臉。

自制

其實(shí)，計(jì)算器看似正確的結(jié)果，只是計(jì)算器把存在精度問題的最后幾位在顯示的時(shí)候舍入掉了而已。我們可以理解為這是一種“障眼法”。

自制

那問題到底出在哪兒？

要理解這個(gè)現(xiàn)象，得先搞明白計(jì)算機(jī)是怎么看待小數(shù)的。

我們平時(shí)用的是十進(jìn)制，但計(jì)算機(jī)只懂二進(jìn)制，也就是那一堆0和1。把十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)成二進(jìn)制，用的是“乘2取整”法。以 0.1 為例：

自制

看出來了嗎？0.1 的二進(jìn)制是無限循環(huán)的：0.00011001100110011……（0011 循環(huán)）。

同樣，0.2 的二進(jìn)制也是無限循環(huán)：0.0011001100110011……（0011 循環(huán)）。

看不出來也不要緊，我們只要記住：我們十進(jìn)制世界里大部分稀松平常的小數(shù)，二進(jìn)制都是無法精準(zhǔn)表達(dá)的。

0.1 和 0.2在二進(jìn)制世界里，就是“無限循環(huán)小數(shù)”，也就如同十進(jìn)制無法精確表示 1/3 一樣。

除了0.1和0.2以外，π、√2等數(shù)學(xué)上的無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)），二進(jìn)制下更是超綱了，計(jì)算機(jī)同樣也是無法精確表示的。

弄懂了這個(gè)概念，我們?cè)賮砜从?jì)算機(jī)的存儲(chǔ)法則。

我們現(xiàn)在主流的編程語言，通用的存儲(chǔ)法基本都是“IEEE 754浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)”，只要是使用了這個(gè)存儲(chǔ)標(biāo)準(zhǔn)的語言，比如JavaScript、C/C++、Java、以及曾號(hào)稱人人都應(yīng)該掌握的Python等等，都是無法準(zhǔn)確計(jì)算出“0.1+0.2=0.3”的。

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IEEE 754是由電氣與電子工程師協(xié)會(huì)（IEEE）于1985年制定的浮點(diǎn)運(yùn)算技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)。

在這部“數(shù)字憲法”制定之前，各大計(jì)算機(jī)廠家都有自己的浮點(diǎn)數(shù)存儲(chǔ)法則，你不兼容我的，我不care你的，主打一個(gè)各論各的，造成了很多混亂。

IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)就規(guī)定了浮點(diǎn)數(shù)在計(jì)算機(jī)中的存儲(chǔ)格式，常見的有32位單精度和64位雙精度。每個(gè)數(shù)被拆分為符號(hào)位、指數(shù)位和尾數(shù)位三部分，尾數(shù)位長(zhǎng)度是固定的（如雙精度為52位），那么遇到無限循環(huán)或者無限不循環(huán)小數(shù)的時(shí)候，怎么辦？那就是把尾數(shù)“一剪沒”了。

這樣截?cái)嗷蛏崛耄徒o0.1和0.2造成了存儲(chǔ)誤差。兩個(gè)近似值相加，誤差累積，就導(dǎo)致了0.1+0.2≠0.3的現(xiàn)象。

梅開二度、二度返場(chǎng)｜《夏洛特?zé)馈?/strong>

你可能又得問：浮點(diǎn)數(shù)存儲(chǔ)為啥非得把尾數(shù)截了？計(jì)算機(jī)這么牛，全存了不行嗎？

答案很簡(jiǎn)單：不是不想，是做不到。

很多人以為計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)和計(jì)算都是絕對(duì)精確的，其實(shí)這是個(gè)誤解。

存整數(shù)確實(shí)可以——比如數(shù)字 42，轉(zhuǎn)成二進(jìn)制 101010，放進(jìn)固定大小的空間里，只要空間夠大（不溢出），拿出來還是 42，分毫不差。就像把雞蛋放進(jìn)倉庫，拿出來還是那個(gè)雞蛋。

但問題是，數(shù)學(xué)世界里的數(shù)遠(yuǎn)不止如此。無限循環(huán)和無限不循環(huán)的數(shù)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于整數(shù)。

計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)空間是有限的，無論用多少位，都裝不下一個(gè)無限長(zhǎng)的二進(jìn)制串。所以，它只能截取前幾十位，后面的直接扔掉。

你可能又會(huì)想：那能不能把空間做得再大點(diǎn)，存更多位？從幾十位變成幾百位也行啊！

理論上可以，但實(shí)際意義不大。

對(duì)絕大多數(shù)工程、圖形、科學(xué)計(jì)算來說，“IEEE 754浮點(diǎn)數(shù)存儲(chǔ)法”所用的 64 位雙精度（約 15-17 位有效數(shù)字）已經(jīng)足夠精確。

對(duì)不同領(lǐng)域來說，計(jì)算精度要求是不同的，天文學(xué)家能算準(zhǔn)光年就很牛了｜網(wǎng)絡(luò)

如設(shè)計(jì)飛機(jī)、渲染電影、模擬天氣，沒人需要知道 π 的第10000位是什么（當(dāng)然，π能不能算到最后一位，在數(shù)學(xué)上意義重大，可能意味著數(shù)學(xué)大廈的地基比如微積分、極限理論被動(dòng)搖）。況且，無理數(shù)有無窮多個(gè)，再大的空間也裝不完。

所以計(jì)算機(jī)選擇了一種“務(wù)實(shí)”的策略：用有限的存儲(chǔ)，近似地表示所有的實(shí)數(shù)。專業(yè)的相關(guān)學(xué)科就叫做計(jì)算機(jī)數(shù)值分析，研究的就是“近似”的藝術(shù)。

對(duì)于任何一個(gè)數(shù)值計(jì)算問題，數(shù)值分析都會(huì)追問：誤差有多大？算法快不快？結(jié)果穩(wěn)不穩(wěn)？能不能算出來？只要這四個(gè)問題都能給出滿意的答案，那就是合格的計(jì)算結(jié)果。

回到 0.1 + 0.2。這不是程序的 bug，而是二進(jìn)制與有限存儲(chǔ)共同作用的必然結(jié)果。

理解這個(gè)“誤差”，就是數(shù)值分析教給我們的最重要一課：

認(rèn)識(shí)誤差，理解誤差，最終學(xué)會(huì)與誤差共存，并控制它。

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參考資料：

[1]https://bbs.huaweicloud.com/blogs/287063

[2] https://www.puntoflotante.net/FLOATING-POINT-FORMAT-IEEE-754.htm

[3]https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html

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