湖南
題目[2026考研數學一第3題]: 設函數 在區間 上有定義，則( ).
(A) 當 在 上單調遞減，在 上單調遞增時， 為極小值
(B)當 是極小值時， 在 上單調遞減，在 上單調遞增
(C)當 的圖形在 上是凹的時， 在 上單調遞增
(D)當 在 上單調遞增時， 的圖形在 上是凹的
對于這個題目，一些網絡上給出的選項是（D），下面咱們分析一下，看看這個選擇題到底選哪個選項是正確的！
參考分析:題目僅給出 有定義，未說明連續性:
(A):反例 此時 在 遞減， 遞增，但 是孤立點且為局部極大值。故選項(A)錯誤。
(B):極值點不一定是單調區間的分界點. 反例
當 ， , 是極小值，但在 的任意鄰域內函數振蕩，不具有單調性。故(B)錯誤。
(C)：當 的圖形在 上是凹的時， 在 上單調遞增. 這是凹曲線(凸函數)的一個基本幾何性質，通常稱為三弦引理的推論. 即
若 是定義在區間 上的凸函數，對于任意的三個點 ，記
是函數圖像上的三個點, 是線段 的斜率， 是線段 的斜率， 是線段 的斜率, 則 , 即
幾何直觀：對于一個下凸（凹）的曲線（形狀像碗），若固定右端點 ，讓左邊的動點 逐漸向右移動（即 增大），那么連接動點 和固定點 的割線斜率會越來越大.
數學推導：設 在區間 上是曲線圖形是凹的（凸函數）, 根據凸函數的性質，對于 ，有如下斜率不等式：
在本題中，令 為固定右端點, 令 ，這是點 與 的連線斜率. 對于任意 ，由于 的曲線是凹的，根據凸函數性質可得
即 . 因此，斜率函數 是單調遞增的.
選項 (D)：當 在 上單調遞增時， 的圖形在 上是凹的. 這是一個充分性命題, 僅僅保證動點與右端點連線的斜率單調遞增，并不能保證曲線在整個區間內每一點的二階導數都大于等于0（即不能排除局部有“鼓起”的情況）.
反例構造：構造一個函數 ，使得它與點 的連線斜率 是單調遞增的，但函數 在區間內某處是上凸的.
設 ，定義斜率函數為 , 當取 時, 在 上單調增加, 則由 可解得 . 計算該函數的一階、二階導數，得
由此可知 在 內為正, 在 內為負,在 內為正, 故 在 內為凸曲線,并非在整個定義域上都是凹曲線. 所以選項 (D) 錯誤.
【注】：對于凹凸曲線的函數這些性質的討論是考研中的一個重點，出現的頻率相對比較高，比如去年也是此類問題，而且是一個大題。對于這類抽象題的思路一般也具有通用性，很多時候都是基于上面提到的三弦引理。所以對于三弦引理的結論不僅要記住，而且要能夠證明。更多相關類型的典型題和高等數學、數學分析綜合提高專題訓練可以查閱。
以上分析是否正確、嚴謹
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