小樂數學科普：為什么數學家研究紐結？——譯自Quanta Magazine量子雜志

紐結理論（knot theory）已經超越了抽象的數學好奇心，推動了數學及其他領域的許多發現。

作者：David S. Richeson 2022-10-31

譯者：zzllrr小樂 2022-11-1

紐結理論最初是為了理解宇宙的基本構成。1867年，當科學家們急切地試圖找出可以解釋所有不同種類物質的方法時，蘇格蘭數學家和物理學家彼得·格思里·泰特（Peter Guthrie Tait）向他的朋友和同胞威廉·湯姆森爵士（Sir William Thomson）展示了他用于產生煙圈的設備。湯姆森——后來成為開爾文勛爵（與熱力學溫標同名）——被環迷人的形狀、穩定性和相互作用所吸引。他的靈感將他引向了一個令人驚訝的方向：也許，他想，就像煙圈是空氣中的漩渦一樣，原子是發光以太中結成紐結的渦旋環，物理學家曾認為，光通過以太這種無形介質傳播。

雖然這個維多利亞時代的想法現在聽起來可能很荒謬，但這并不是一個輕率的研究。這個漩渦理論有很多值得借鑒的地方：紐結的多樣性，每個紐結略有不同，似乎反映了許多化學元素的不同性質。渦旋環的穩定性也可能提供原子所需的持久性。

渦旋理論在科學界獲得了關注，并激發了泰特開始將所有紐結制成表格，創造了他希望等同于元素周期表的東西。當然，原子不是紐結，也沒有以太。到1880年代后期，湯姆森逐漸放棄了他的渦旋理論，但那時泰特被他的紐結的數學優雅所吸引，他繼續他的制表項目。在這個過程中，他建立了紐結理論的數學領域。

我們都熟悉紐結——它們讓我們的腳能穿上鞋，讓船固定在碼頭上，讓登山者能從下面的巖石上來。但這些紐結并不完全是數學家（包括泰特）所說的紐結。雖然纏繞起來的線團可能看起來打了結，但總是可以解開它。要打一個數學紐結，你必須將線的自由末端插在一起以形成一個閉環。

因為紐結像繩子（或譯為弦）一樣靈活，數學家將紐結理論視為拓撲學的一個子領域，即對可延展形狀的研究。有時可以解開一個紐結，讓它變成一個簡單的圓，我們稱之為“（可）解紐結”（unknot）。但更多時候，解開一個紐結是不可能的。

三個簡單的紐結（從左上角順時針方向）：（可）解紐結、三葉紐結（trefoil）和方形紐結。

紐結也可以組合形成新的紐結。例如，將稱為三葉草的簡單紐結與其鏡像結合會產生一個方形紐結。（如果你加入兩個相同的三葉紐結，你就得到一個奶奶紐結（granny knot）。

將三葉紐結及其鏡像連接起來，形成一個方形紐結。

使用數字世界的術語，數學家說三葉紐結是素紐結，方紐結是（復合、合成）合紐結，（可）解紐結既不是素的，也不是合的（就與數字1一樣，既不是素數，也不是合數）。這個類比在1949年得到了進一步的支持，當時霍斯特·舒伯特（Horst Schubert）證明了每個紐結要么是素紐結，要么可以唯一地分解為素紐結。

創建新紐結的另一種方法是將兩個或多個紐結交織在一起，形成一個鏈。波羅密歐環（Borromean ring）之所以如此命名，是因為它們出現在意大利Borromeo波羅密歐家族的徽章上，它就是一個簡單的例子。

為了形成Borromean環，三個環必須相互連接，而沒有兩個單獨的圓環相連。

湯姆森和泰特并不是第一個以數學方式看待紐結的人。早在1794年，卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）就在他的個人筆記本上寫下并畫了紐結的例子。高斯的學生約翰·利斯廷（Johann Listing）在他1847年的專著《拓撲學的初步研究》（Vorstudien zur Topologie）中寫到了紐結——這也是拓撲學一詞的起源。

但泰特是第一個研究紐結理論基本問題的學者：所有可能的紐結的分類和制表。通過多年的艱苦工作，僅使用他的幾何直覺，他就發現并對所有素紐結進行了分類，當投影到平面上時，最多有七個交叉點。

以元素周期表的樣式排列的可解紐結和所有具有七個或更少交叉（忽略鏡像）的素紐結。

在19世紀末，泰特得知另外兩個人——托馬斯·柯克曼牧師（Rev. Thomas Kirkman）和美國數學家查爾斯·利特爾（Charles Little）——也在研究這個問題。在他們的共同努力下，他們將所有素紐結分類為多達 10 個交叉點，其中許多具有 11 個交叉點。令人驚訝的是，他們10個及10個以內交叉點的紐結表是完整的：沒有錯過任何紐結。

值得注意的是，泰特、柯克曼和利特爾在沒有后來幾年中發現的定理和技術的情況下取得了如此多的成就。但對他們有利的一件事是，大多數小紐結都是“交替的”，這意味著它們有一個投影，其中交叉點表現出一致的上-下-上-下模式。

交替紐結具有比非交替紐結更容易分類的特性。例如，很難找到任何紐結投影的最小交叉數。但是泰特多年來錯誤地認為所有的紐結都是交替的，他推測了一種判斷是否找到最小數字的方法：如果一個交替投影沒有可以通過翻轉部分紐結即可消除的交叉點，那么它一定是交叉次數最少的投影。

泰特稱任何可以通過翻轉部分紐結來消除的交叉點都是“無價值的”（nugatory）或無關緊要的。

泰特關于交替紐結的另外兩個猜想最終都是真的。然而，這些著名的猜想直到1980年代末和90年代初，使用沃恩·瓊斯（Vaughan Jones）于1984年開發的數學工具后，才被證明。瓊斯因在紐結理論方面的工作而獲得菲爾茲獎。

不幸的是，交替的紐結只能帶你走這么遠。一旦我們進入有八個或更多交叉的紐結，非交替紐結的數量就會迅速增加，這使得泰特的技術變得不那么有用。

這個8-交叉紐結，作為真愛之人的紐結，不能用交替的投影來繪制。

所有 10-交叉紐結的原始表是完整的，但泰特、柯克曼和利特爾重復計算了。直到1970年代，曾在普林斯頓大學研究紐結理論的律師肯尼斯·佩爾科（Kenneth Perko）才注意到其中兩個紐結是彼此的鏡像。為了紀念他，他們現在被稱為Perko對（Perko pair）。

這兩個 10-交叉紐結，稱為 Perko 對，是同一個紐結。

在過去的一個世紀里，數學家們發現了許多聰明的方法來確定紐結是否真的不同。從本質上講，這個想法是識別一個不變量——與節點相關的屬性、數量或代數實體，通常可以簡單地計算。（這些屬性具有可著色性（colorability）、橋數（bridge number）或翻滾（writhe） 等名稱。有了這些標簽，數學家現在可以很容易地比較兩個紐結：如果它們在任何給定的屬性上不同，那么它們就不是同一個紐結。然而，這些性質都不是數學家所說的完全不變量，這意味著兩個不同的節點可能具有相同的性質。

由于所有這些復雜性，紐結的制表仍在進行中也就不足為奇了。最近，在 2020 年，本杰明·伯頓（Benjamin Burton）將所有多達 19 個交叉的素紐結進行了分類（有近 3 億個） https://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2020/12183/ 。

傳統的紐結理論只在三維空間才有意義：在二維中，只有可解紐結是可能的，而在四維中，額外的空間允許紐結自行解開，所以每個紐結都與可解紐結相同。

然而，在四維空間中，我們可以給球面打結。為了理解這意味著什么，想象一下以規則的間隔切割一個普通的球面。這樣做會產生圓圈，就像緯度線一樣。然而，如果我們有一個額外的維度，我們可以把球面打結，所以這些切片，現在是三維的，而不是二維的，可以成為紐結。

當我們在三維空間中切一個球面時，我們得到的是圓。但是在四維空間中打結的球面的切片可能是紐結。

這個想法是紐結理論最近最大的結果之一。2018年，當時的研究生麗莎·皮奇里洛（Lisa Piccirillo）解決了50年前的問題，即約翰·康威（John Conway）首次發現的11-交叉紐結。這個問題與一種叫做sliceness（可切性）的屬性有關。正如我們所看到的，當我們在四維中切開一個打紐結的球面時，我們會在三維空間中獲得一個紐結或鏈。有時我們可以從一個漂亮的光滑紐結球面中獲得給定的紐結，但對于其他紐結，球面必須像一張廢紙一樣打結和皺縮。從本質上講，Piccirillo證明了康威的紐結屬于后一種類型。用技術術語來說，她證明了它不是“光滑切片”（smoothly slice）。

Lisa Piccirillo證明，康威紐結并不“光滑”。

幾個世紀以來，紐結理論在數學領域縱橫交錯。它最初是數學的一個應用領域，湯姆森試圖用紐結來理解物質的構成。隨著這個想法的消失，它變成了純數學的一個領域，是拓撲學這個有趣且仍然不實用的領域的一個分支。但近年來，紐結理論再次成為數學的一個應用領域，因為科學家利用紐結理論的思想來研究流體力學、電動力學（https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.111.150404 ）、紐結分子如DNA等。幸運的是，當科學家們忙于研究其他事情時，數學家們正在建立紐結目錄和解開它們秘密的工具。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-study-knots-20221031/

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