湖南
一、（3*5=15分）設三維空間中四點 所形成的三個向量為 , , , 其中 . 已知 作為相鄰兩邊所成的平行四邊形的面積為 ， , , 作為共頂點三條棱所成的平行六面體的體積為 .
(1) 求 的值.
(2) 求平行于向量 且過點 的平面的方程.
(3) 求函數 在點 的梯度以及在該點沿 方向的方向導數.
二、（3*5=15分）設函數 在閉區間 上連續，在開區間 上可導且導數大于 0，極限 存在. 證明：
(1) 在區間 上取值大于 0；
(2) 存在 ，使得
(3) 對上述 ，存在 ， ，使得
三、（5+10=15分）解答下列各題.
(1) 寫出 在 處的 階帶佩亞諾 (Peano) 余項的泰勒公式.
(2) 計算極限
四、（5+10=15分）設二元函數 有連續偏導數， ， ，且對任意實數 都滿足 .
(1)計算 ；
(2) 計算極限
五、（3*5=15分）設 .
(1) 若定義在 上的二元函數 具有連續的二階偏導數且滿足
證明： , ，其中 , 是二階連續可導的函數.
(2) 若定義在區域 上的二元正值函數 具有連續的二階偏導數且滿足
驗證 滿足
(3) 設二元正值函數 具有連續的二階偏導數且滿足
試給出 的表達式.
六、（15分）設 具有二階連續偏導數，且當 時,
記 證明： 在 處取到極值，計算這個極值并判斷是極大值還是極小值.
七、（10分）設定義域為 、值域為區間 的二元函數 具有二階連續偏導數且處處 。證明：對任意實數 ，曲線 為直線的充分必要條件是
據說這是2025-2026學年北京大學第一學期的高等數學A試題，是否正確，請學友直接文后留言反饋！
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