湖南
一、 一階微分方程 ( )
核心思路：識別類型 變形 套公式/積分
可分離變量方程
形式：
解法：兩邊同時積分
齊次方程
形式：
解法：
(1)令
(2)代入原方程，化為可分離變量方程：
3.一階線性微分方程
形式：
解法（通解公式）：
4.伯努利方程 (Bernoulli)
形式：
解法：
(1)兩邊同除 ：
(2)換元：令 ，則
(3)化為一階線性方程求解 ，最后回代。
5.全微分方程(一般高數(shù)下曲線積分部分討論)
形式：
判定：
解法：湊全微分 或利用積分與路徑無關(guān)沿折線積分。
核心思路：通過換元，把高階降為低階
1.型
解法：兩邊連續(xù)積分 次。
2.型（缺 ）
解法：
(1)令 ，則
(2)原方程變?yōu)? （關(guān)于 的一階方程）
(3)求出 后，再由 求 。
3.型（缺 ）
解法：
(1)令 ，則（這是關(guān)鍵！）
(2)原方程變?yōu)? （關(guān)于 的一階方程）
(3)求出 后，分離變量 再積分。
形式：
1. 齊次方程 ( ) 求解步驟
(1)寫出特征方程：
(2)求特征根 ，根據(jù)判別式 分類：
(兩不等實(shí)根)：
(兩相等實(shí)根)：
(共軛復(fù)根 )：
2. 非齊次方程 ( ) 求解步驟
通解結(jié)構(gòu)： (對應(yīng)齊次通解) (特解). 待定系數(shù)法求特解 ：
類型 I：
設(shè) , 的取值：看 是不是對應(yīng)齊次線性方程的特征根。
不是特征根
是單根
是重根
類型 II： ,
設(shè) （ ）, 的取值：看 是不是特征根。
不是
3.歐拉方程
形式：
解法：
(1)換元：令 或 ，則
(2)化為常系數(shù)的線性方程求解 ，最后回代 。
1、如果微分方程不具有以上結(jié)構(gòu)，則通過改寫微分方程，如同齊次方程、伯努利方程和歐拉方程，通過換元轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)方程求解，或者通過交換因變量與自變量的地位，即視當(dāng)前方程的因變量（函數(shù)符號）為自變量，自變量為因變量來考察方程的結(jié)構(gòu)探索期求解思路與方法。
2、對于二階變系數(shù)線性微分方程，一般使用待定函數(shù)法求其通解，一般是在求得（或已知）齊次線性微分方程一個特解的基礎(chǔ)上，設(shè)所求解為該特解乘以各待定函數(shù)u(x)后，代入原方程即可直接求得通解。
3、線性微分方程解的五個基本結(jié)構(gòu)性質(zhì)
性質(zhì)1如果函數(shù) 與 是方程 的兩個解，則 也是它的解，其中 是任意常數(shù)．
性質(zhì)2如果函數(shù) 與 是方程 的兩個線性無關(guān)的解，則 也是它的解，其中 是任意常數(shù)．
注：如果兩個函數(shù)相除恒為常數(shù)，則兩個函數(shù)線性相關(guān)；如果兩個函數(shù)相除為函數(shù)，則兩個函數(shù)線性無關(guān)。
性質(zhì)3設(shè) 是二階非齊次線性方程
的一個特解． 是其對應(yīng)的齊次方程 的通解，則 是二階非齊次線性微分方程 的通解．
性質(zhì)4設(shè) , 是二階非齊次線性方程
的兩個特解，則 是其對應(yīng)的齊次方程 的解．
性質(zhì)5設(shè) 與 分別是方程
的特解，則 是非齊次線性方程
的解。
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